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12018-2019学年度福州市高三第一学期质量抽测数学(理科)试卷(完卷时间:120分钟:满分150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|1}Axx,{|02}Bxx,则ABA.(,1)(1,2)B.(,1)C.(,2)D.(1,2)2.已知复数z满足2(1)2zii,则||z为A.52B.5C.2D.13.曲线()lnfxxx在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A.2B.32C.12D.144.已知等差数列{}na的前n项和为nS,且32a,68a,则8SA.20B.40C.60D.805.给出下列说法:①“4x”是“tan1x”的充分不必要条件;②定义在[,]ab上的偶函数2()(5)fxxaxb的最大值为30;③命题“0xR,0012xx”的否定形式是“xR,12xx”.其中正确说法的个数为A.0B.1C.2D.326.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两条渐近线均与圆22650xyy相切,则双曲线C的离心率为A.32B.23C.62D.947.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3、3,则输出v的值为A.143B.48C.16D.58.某个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个侧面中,面积最大的侧面的面积为A.2B.1C.32D.629.已知点O是ABC内部一点,且满足OAOBOCO,又23ABAC,60BAC,则OBC3的面积为A.32B.3C.1D.210.已知函数2()3sin22cos1fxxx,将()fx的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标保持不变;再把所得图像向上平移1个单位长度,得到函数()ygx的图像,若12()()9gxgx,则12||xx的值可能为A.3B.2C.34D.5411.如图,函数()fx的图像为两条射线CA,CB组成的折线,如果不等式2()fxxxa的解集中有且仅有1个整数,那么实数a的取值范围是A.{|21}aaB.{|21}aaC.{|22}aaD.{|2}aa12.已知函数32()2lnfxxexmxx,若()fxx恒成立,则实数m的取值范围是A.21(1,)eeB.21(0,1]eeC.21(,1]eeD.21(,]ee第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每道试题考生都必须做答。第(22)题、第(23)题为选考题,考生根据要求做答。4二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知实数x,y满足条件2221yxxyx,则xy的最大值为.14.已知函数3()sin22(,,0)fxaxbxabRab,且(2)3f,则(2)f.15.已知抛物线28yx的焦点为F,直线l过F且依次交抛物线及圆22(2)1xy于点A,B,C,D四点,则||4||ABCD的最小值为.16.函数()cos2(sincos)fxxxx在区间[0,]2上单调递增,则实数的取值范围是.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.如图,在ABC中,M是边BC的中点,57cos14BAM,27cos7AMC.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)若21AM,求AMC的面积.18.在数列{}na中,11a,11nnnaaa,设1nnba,*nN(Ⅰ)求证数列{}nb是等差数列,并求通项公式nb;(Ⅱ)设12nnncb,且数列{}nc的前n项和nS,若R,求使1nnSc恒成立的的取值范围.19.如图,在三棱柱111ABCABC中,ABAC,1ACBB,12ABABAC,122BB.5(Ⅰ)求证:1AB平面ABC;(Ⅱ)若P是棱11BC的中点,求直线1BB与平面PAB所成角的正弦值.20.已知点3(1,)2A在椭圆2222:1(0)xyCabab上,O为坐标原点,直线223:12xylab的斜率与直线OA的斜率乘积为14.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)不经过点A的直线3:2lyxt(0t且tR)与椭圆C交于P,Q两点,P关于原点的对称点为R(与点A不重合),直线AQ,AR与y轴分别交于两点M,N,求证:AMAN.21.设函数1()(1)xfxaxe.(Ⅰ)当0a时,求函数()fx的单调区间;(Ⅱ)当1a时,若函数()fx与函数24()yxxmmR的图像总有两个交点,设两个交点的横坐标分别为1x,2x.①求m的取值范围;②求证:124xx.请考生在(22)、(23)二题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.622.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为03cossinxtyyt(t为参数,为l的倾斜角),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线E的极坐标方程为4sin,直线,3,()3R,与曲线E分别交于不同于极点O的三点A,B,C.(Ⅰ)若233,求证:||||||OBOCOA;(Ⅱ)当56时,直线l过B、C两点,求0与的值.23.已知函数()|2|3fxxaa,aR.(Ⅰ)若对于任意xR,总有()(4)fxfx成立,求a的值;(Ⅱ)若存在xR,使得()|21|fxxa成立,求a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DADBC6-10:ABDCB11、12:BA二、填空题13.314.115.1316.[2,)三、解答题17.解:(Ⅰ)由57cos14BAM,得21sin14BAM,由27cos7AMC,得21sin7AMC又AMCBAMB,所以,coscos()BAMCBAMcoscossinsinAMCBAMAMCBAM72757212171471412,又(0,)B,所以23B.(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知23B,在ABM中,由正弦定理,得sinsinAMBMBBAM,所以,sinsinAMBAMBMB212114332.因为M是边BC的中点,所以,3MC.故1sin2AMCSAMMCAMC12133213272.解法二:由(Ⅰ)知23B,在ABM中,由正弦定理,得sinsinAMBMBBAM,所以,sinsinAMBAMBMB212114332.因为M是边BC的中点,所以,AMCABMSS所以,1sin2AMCABMSSAMBMBMA12121327332.18.证法一:解:(Ⅰ)由条件知,11111nnnnaaaa,8所以,1111nnaa,所以11nnbb,又1111ba,所以,数列{}nb是首项为1,公差为1的等差数列,故数列{}nb的通项公式为:nbn.证法二:由条件,得111111nnnnnnnabbaaaa1nnaa又1111ba,所以,数列{}nb是首项为1,公差为1的等差数列,故数列{}nb的通项公式为:nbn.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,12nncn,则01112222nnSn,①12212222nnSn②由①-②得,0112222nnnSn01222212nnn1(1)2nn∴1(1)2nnSn∵0nc,∴1nnSc恒成立,等价于1nnSc对任意*nN恒成立.∵11(1)22222nnnnSncnn,∴2.19.解:(Ⅰ)证明:∵在三棱柱111ABCABC中,ABAC,1ACBB,又1ABBBB,∴AC平面11ABBA,又1AB平面11ABBA,∴1ACAB,∵122BB,∴122AA,9∵12ABAB,∴22211ABABAA,∴1ABAB,又ACABA,∴1AB平面ABC.(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,直线11AC,11AB,1BA两两互相垂直,如图,以1A为原点,分别以11AC,11AB,1BA所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系1Axyz,则1(0,0,0)A,(1,1,0)P,(0,0,2)B,1(0,2,0)B11(0,2,0)ABAB,(1,1,2)PB,设平面PAB的法向量(,,)nxyz,则00nABnPB,所以,020yxyz,取1z,则(2,0,1)n,又1(0,2,2)BB,设直线1BB与平面PAB所成角为,则111sin|cos,|||||nBBnBBnBB2101058.∴直线1BB平面PAB所成角的正弦值1010.解法二:由(Ⅰ)知,直线11AC,11AB,1BA两两互相垂直,以A为原点,分别以AC、AB、Az所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系Axyz,则(0,0,0)A,1(0,2,2)A,(1,3,2)P,(0,2,0)B,1(0,4,2)B,1(2,2,2)C1011(0,2,0)ABAB,(1,1,2)PB,设平面PAB的法向量(,,z)nxy,则00nABnPB,所以,020yxyz,取1z,则(2,0,1)n,又1(0,2,2)BB,设直线1BB与平面PAB所成角为,则111sin|cos,|||||nBBnBBnBB2101058.∴直线1BB平面PAB所成角的正弦值1010.20.解:(Ⅰ)由题意,22122321243OAbbkkaa,即224ab①又221314ab②联立①①解得21ab所以,椭圆C的方程为:2214xy.(Ⅱ)设11(,)Pxy,22(,)Qxy,11(,)Rxy,由223214yxtxy,得22310xtxt,11所以240t,即22t,又因为0t,所以,(2,0)(0,2)t,123xxt,2121xxt,解法一:要证明AMAN,可转化为证明直线AQ,AR的斜率互为相反数,只需证明0AMANkk,即证明0AQARkk.1212332211AQARyykkxx12211233()(1)()(1)22(1)(1)yxyxxx∴1221123333()(1)()(1)2222(1)(1)xtxxtxxx1212123()3(1)(1)xxtxxxx2123(1)(3)30(1)(1)tttxx∴0AMANkk,∴AMAN.解法二:要证明AMAN,可转化为证明直线AQ,AR与y轴交点M、N连线中点S的纵坐标为32,即AS垂直平分MN即可.直线AQ与AR的方程分别为:22332:(1)21AQylyxx,11332:(1)21ARylyxx,分别令0x,得2233212Myyx,1133212Nyyx而21213322311MNyyyyxx,同解法一,可得3MNyy322MNSyyy
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时间: 2020-02-25
本文标题:福建省福州市2019届高三上学期教学质量抽测数学(理)试题
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