2第二章 一般张量00

第二章一般张量笛卡尔张量是笛卡尔坐标系变换下的不变量，要建立在任意坐标系变换下的不变量，就必须引进一般张量。第一节斜角直线坐标系和曲线坐标系在笛卡尔直角坐标系中，有力矢量p和位移矢量u，则力P在产生位移u时所做的功为uPW。在二维的情况下，在笛卡尔直角坐标系中，有：2211upupWuP（2.1.1）现在讨论这种情况在斜角直线坐标系的表达形式。采用平面斜角直线坐标系，取1e，2e为单位矢量，坐标线1x和2x的夹角为，有力p和位移u的矢量形式：2211eePPP，2211eeuuu（2.1.2）故有：cosupupupupuuppW1221221122112211eeeeuP（2.1.3）比较这个式子与直角坐标系中矢量点积的式子，形式上多了一项，失去了矢量点积是矢量分量两两乘积之和的简洁形式。为了建立矢量点积的简洁表达形式，引入一组对偶基矢量，用带上标的矢量1g、2g、3g表示，称为逆变基矢量。相对地，原来带下标的基矢量1g、2g、3g称为协变基矢量，逆变基矢量可由协变基矢量按下面的对偶关系确定：iijjge，1,2,3ji,（2.1.4）式中，jijiij0,1,（2.1.5）为克罗奈克尔符号，有九个分量，指标相同的分量取值为1，指标相异的取值为零。在二维情况下，11111ocos90-αgggg，若取11g，则11sing，并且1g的方向正交于2g。同理得21sing，并且2g正交于1g。*图这时用逆变基矢量的线性组合来表示P为：1212ppPgg（2.1.6）式中称带下标的符号1p、2p为矢量P的协变分量。用协变基矢量表示P时，则有：1212ppPgg（2.1.7）式中称带上标的符号1p，2p为矢量P的逆变分量。由于P不依赖与坐标系，P的逆变分量和协变分量应满足一定的关系。对二维情况，有：12121212ppppgggg（2.1.8）对上式两边分别点乘1g，2g，可得协变分量和逆变分量的关系：cosppp211，cosppp122（2.1.9）现在把二维的概念推广到三维的情况，计算功或矢量的点积，令：iiiippPgg，jjjju=uugg（2.1.10）则有：jijiiijijiijijijijiipupuδpupu=puδ=puWPugggg（2.1.11）上式表明，只要在斜角直线坐标系中引进协变和逆变基矢量，就能够像在直角坐标系下那样，对一个矢量采用协变分量的分解，对另一个矢量采用逆变分量的分解，就得到矢量点积的简洁形式。显然，矢量P的协变和逆变分量分别为：iip=Pg，iip=Pg（2.1.12）在斜角直线坐标中，矢量的协变分量和逆变分量分别是矢量在协变和逆变基矢量的投影。从以上讨论可以看出，采用对偶基矢量后，矢量有两种分量，分别是矢量的协变分量和逆变分量，相应地有逆变基矢量和协变基矢量。今后把具有上标的量称为逆变量，具有下标的量称为协变量。同时应注意：自由指标在表达式中只能出现一次，哑标出现两次表示爱因斯坦求和约定，但必须一个指标在上而一个指标在下。为了便于理解，下面考虑极坐标系中的矢量。选择线元sd作为待研究的矢量，把单位矢量1e和2e定义为沿坐标增加的方向，就能写出：21eesrddrd（2.1.13）这里实际上是把dr，rd看作是矢量sd的逆变分量了，但有类似于rd这样非线性项的出现，将给运算带来不便。我们对上式作一调整，便得坐标的微分成为线元矢量sd的逆变矢量：1dxdr，2dxd（2.1.14）这样，就需要这两个微分的系数：11eg，22egr（2.1.15）作为新的基矢量，而不是用单位矢量作为基矢量。由此可见，在极坐标系中，基矢量1g和2g随点而变，相当于一个活动标架。现在把极坐标的概念推广到三维曲线坐标系}{ix，321,,i。在任意一点A，选择三个矢量ig的大小和方向，使得线元矢量满足：iidxdgr（2.1.16）对于任意曲线坐标系，ig一般不是单位矢量，都是坐标的函数并且一般都具有量纲。然后，考虑从定点O（也许是坐标原点）到点A引一个位置矢量r，矢量r是坐标的函数，相邻点B的位置矢量为1r，则rrrd1，rd是从A点到B点的r的增量，可以把这一增量形式写为：iidxxdrr（2.1.17）比较以上两式得：iixrg（2.1.18）由此看出，协变基矢量是位置矢量对相应曲线坐标的偏导数，其方向与坐标曲线相切。所以，曲线坐标系下的协变基矢量，其大小和方向都与坐标有关。由协变基矢量ig可通过对偶关系定义逆变基矢量：jijigg（2.1.19）用这两组基矢量，可以确定任一矢量P的两组分量：jjiiPPggP（2.1.20）也可以把这两组基矢量用于任何两个矢量u和v的点积，u和v的点积写为：iijijijjiivuvuvuggvu（2.1.21）或者有：iiijjijjiivuvuvuggvu（2.1.22）当协变基矢量1g、2g、3g构成右手系时，其混合积为正值，记：g321321][gggggg（2.1.23）式中g为正实数，混合积的几何意义是三个矢量依次构成右手系时，以这三个矢量为棱边的平行六面体的体积。根据对偶关系可由协变基矢量确定逆变基矢量。因为21gg，31gg，即有1g平行于32gg，可令321ggga，因为gaa132111ggggg，可求得1a=g，故有：1231gggg（2.1.24）同理可得：2311gggg，3121gggg（2.1.25）每个矢量都可以分解成协变分量或逆变分量。如果把每个基矢量都用同名的基矢量表示，即把协变基矢量用逆变分量表示以及把逆变基矢量用协变分量表示时，便有：jjiggi，jijigg（2.1.26）譬如3211001gggg，所以，协变基矢量的逆变分量和逆变基矢量的协变分量都能构成单位张量，后面将会看到，这种分解实际上就是二阶度量张量的混变分量。把一个协变基矢量分解成协变分量时，便导出一组新的重要的量：jijiggg（2.1.27）这样定义的九个量ijg的总体，叫做度量张量，而每个量ijg是度量张量的协变分量。同理，可以把ig分解成逆变分量：jijiggg（2.1.28）这样我们就定义了度量张量的逆变分量。现在考察同一组基矢量的点积：ijkjikjkikjiggggggg（2.1.29）或者，ijjkikjkikjiggggggg（2.1.30）并且jiijgg，jiijgg，所以度量张量是二阶对称张量。现在考虑：jkikkljliklilkikjijigggggggggg（2.1.31）协变基矢量1g、2g、3g的混合积为g，则ijg的行列式为：ggjiij2321332313322212312111ggggggggggggggggggggggg（2.1.32）这里利用了三个矢量两两点积构成行列式的矢量公式，后面将对此给予证明。而jiδ的行列式为：123123[][]1jjiigggggggg（2.1.33）所以，12312311ggggggg（2.1.34）混合积][321ggg是以这三个逆变基矢量为棱边的平行六面体的体积。则类似的有：321gggg，132gggg，213gggg（2.1.35）利用ijg和ijg，可以把一个矢量的逆变分量用协变分量表示，也可以把它的协变分量用逆变分量表示出来。取任一矢量u，jjiiuuggu且有：kikikkiiguuugggukjkjkkjjguuugggu以上称为矢量分量的指标升降关系。还可以得到两个矢量u和v的点积另外两种形式：ijjiijjigvugvuvu矢量u模的平方则表示成：ijjiijjiiiguuguuuuuuu2第二节坐标变换考虑一个旧坐标系}{ix和一个新坐标系}{ix，新旧坐标系各有一对对偶的基矢量。设已知一个矢量在旧坐标系中的各分量，要求计算出它在新坐标系中各分量。首先将新坐标系的基矢量对老坐标系基矢量分解，有：jjiigg，jijigg上式中ji称为协变转换系数，ij称为逆变转换系数，各有九个量，但实际上协变转换系数和逆变转换系数互不独立，为此，作：jkkilkjlkiljlkkijijigggg上式表示协、逆变转换系数组成的矩阵互逆，即100010001332313322212312111332313322212312111旧坐标系的协变基矢量对新坐标系的协变基矢量分解，也应有9个转换系数ij，iijjgg将上式左右点积ig，并利用对偶关系：ijikkjikkjijgggg又将上式左端的ig转换关系代入后得：ijkjikkikjijgggg所以ijij以及iijjgg同理可证：ijijgg且有：jkkilkjlkiljlkkijijigggg上式表示协变和逆变转换系数的另一种互逆关系：100010001332313322212312111332313322212312111因此，新旧坐标系的协变基和逆变基之间共有18个转换系数，它们之间满足矩阵互逆关系，独立的只有九个。把矢径看作复合函数ijxxr，利用链式求导规则，有：jijijjiixxxxxxgrrg与基矢量的坐标转换关系比较，得：ijjixx同理可得：jiijxx可以利用坐标变换得到曲线坐标系的基矢量。譬如确定球坐标和笛卡尔直角坐标间的坐标转换系数以及球坐标的基矢量，令直角坐标为xx1，yx2，zx3，球坐标为rx1，θx2，3x，球坐标和直角坐标的关系为：rcosθcosx，sinθrsiny，rsinz及21222zyxr，xyarctg，2122yxzarctg协变转换系数为：coscos11，cosrsin12，sinrcos13cossin21，cosrcos22，sinrsin23sin31，032，rcos33及逆变转换系数为：coscosrx11，cossinry12，sinrz13rcossinyxy2221，rcoscosyxx2222，023rsincosyxzyxzx212222231rsinsinyxzyxzy212222232rcoszyxyx222212233忆及jjiigg，kikigg，并且直角坐标有互相正交的单位基矢量，则有球坐标的协变基矢量为：3213312211111eeeeeegsincossincoscos212eegcosrcoscosrsin3213eeegrcossinrsinsinrcos以及球坐标的逆变基矢量：3211eeegsincossincoscos21