1-双曲型方程组

1双曲型守恒律方程组1.拟线性双曲型守恒律方程初值问题拟线性双曲型守恒律方程组初值问题的一般形式为00,,0,0,xttxxxxf（1）其中12,,,,mwxtwxtxtwxtw，1112221212,,,,,,,,,mmmmmffwwfww以及0w都是m维向量，分别叫做守恒变量、通量和初值。在初值问题（1）中，要求守恒变量具有紧支集，即：集合,0Sxxtw的闭包为有界集。从而存在常数0R，使得：当xR时，,0xtw；要求通量满足归零条件，即：当0w时，0fw。例1：单个守恒律方程初值问题0,,0,0,fuuxttxuxxx（2）例2：一维气体力学方程组初值问题00,,0,0,xttxxxxf（3）2其中（对于完全气体，利用关系式21112Epu，其中的是比热比）123wwuwEw2212222222233111332232222331111311221122wwfuf2.守恒性任取AR，BR，将方程（1）在区间,AB上积分，得0BBAAdxdxtxfww即,,0BAddxBtAtdtwfwfw但根据A、B的选取，有,0Atfw，,0Btfw所以有0BAddxdtw令A，B，就得到,0dxtdxdtw（4）此式对任意的0t都成立。这表明，,xtdxw是一个与时间无关的常数，或者说，这个量是一个守恒量。对任意的0t，再将（4）时在区间0,t上积分，得0,0tdxdxddw3也就是,,00xtdxxdxww从而有0,,0xtdxxdxxdx即0,,0xtdxxdxtww3.非守恒形式定义通量的Jacobi矩阵111122221212mmmmmmffffAww则方程组（1）可写成0txwfww即0txwwA（5）称为方程组（1）的非守恒形式。例3：对于一维气体力学方程组（3），2222113222323232211111010332122113222A423201033121132uuEEuuuu引入音速pc，则222111122pEcEuu所以22112Ecu，于是上述Jacobi矩阵最终可写成222220103312211322112uuuuccuuA4.双曲型方程组对于方程（5），以及相应的守恒形式（1），定义：若矩阵A的所有特征值都是实数，并且矩阵A是可对角化的，则称方程（5）是双曲型的。（注）关于“矩阵A是可对角化的”，有以下几种等价的描述：矩阵A是可对角化的：矩阵A可以通过相似变换，变换成一个对角矩阵D；存在可逆矩阵R，使得1RARD是对角矩阵；矩阵A存在m个线性无关的特征向量。事实上，以上述m个线性无关的特征向量为列，就得到矩阵R。例4：对于单个守恒律方程（2），矩阵A成为标量aaufu，所以其特征值也是a。55.不变性考虑因变量的变换，设11221212(,,,)(,,,)(,,,)mmmmwvvvwvvvwvvvwwv则方程组（5）可写成0txwvfwvvwv定义因变量变换的Jacobi矩阵111122221212mmmmmmtxvvPAP如果矩阵P可逆，就是10txvvPAP记1BPAP，就是0txvvB经过因变量变换，双曲型方程中的矩阵A变成了矩阵B。上述推导表明，B与A相似。如果A能够相似于对角矩阵，则B也相似于对角矩阵。也就是说，6双曲型方程组经过因变量变换还是双曲型方程。或者说，方程组的双曲性质在因变量变换下具有不变性。例5：对于一维气体力学方程组（3），如果用原变量表示，可写成20100uutxxuuputxxppuuctxx或写成201000uuuutxppcu记upv，20100uucuB就是0txvvB对于一维气体力学方程组（3），如果将守恒变量w换成原变量v，例2中的Jacobi矩阵A变成了这里的矩阵B。根据双曲性方程组的不变性，这两个矩阵是相似的，从而有相同的特征值。显然，计算矩阵B的特征值更容易些。事实上，由72222011000uuuucucuuucuucucIB这样，我们很容易就求出了矩阵B，同时也是矩阵A的三个特征值1uc，2u，3uc6.特征线特征线是双曲型方程的重要性质，我们先通过一个线化的模型方程对此展开讨论。考虑对流方程初值问题()()=0,0,0uuattxuxxìï抖ï+?ïï抖ïíïïï=ïïî考虑xt-平面上由方程dxadt=确定的一族平行直线（因为这里的a为常数）。沿着这族直线中的任意一条，()xxt=成为t的函数，所以方程的解()(),uuxtt=也是t的函数。所以有0duuudxuuadttxdttx抖抖=+=+=抖抖Þu=常数也就是说，沿着这族曲线中的每一条，方程的解都是常数。这样的曲线称为该方程的特征线。从而有以下结论：8对于双曲型方程，沿着方程的特征线，方程的解为常数。如图，对xt-平面（上半平面，0t）上的任何一个点(),Pxt，设过P点的特征线与x轴相交于()0,0Qx点，根据上面的性质，就有()()0,PQuxtuux===。（附）对于对流方程初值问题，xatb=+Þ00xabbxat=?==-所以()(),uxtxat=-这样，利用特征线的性质，我们实际上已经得到了初值问题的解。对于标量守恒律方程()=0fuutx¶¶+抖记()()=aufu¢，可有非守恒形式9()=0uuautx抖+抖此时，上面的所有推导依然成立。沿一条特征线，由于u为常数，所以()au也是常数，因此特征线仍是直线。但对于不同的特征线，u的变化导致特征线斜率()au的变化，所以此时的特征线不再是一族平行直线，这是非线性方程与线性方程之间的重要区别。行波稀疏波压缩波线性非线性此外，虽然初值问题的解仍可写成()()(),uxtxaut=-但由于右端隐含了u，上式并没有给出显式的解。7.Riemann不变量再考虑拟线性双曲型守恒律方程组。直接考虑非守恒形式0txwwA根据方程组的双曲性，有1RARD。其中，矩阵D是对角矩阵，其对角线元素就是矩阵A的特征值j（1,2,,jm=L）；矩阵R是可逆矩阵，其10列向量jr就是对应的右特征向量，即jjjArr；还可以证明，逆矩阵1R的行向量Tjl就是对应的左特征向量，即有TTjjjAll。于是，用Tjl左乘方程组两端，可将方程组解耦，成为m个独立的方程式TT0jjjtxwwll（1,2,,jm=L）此时，引入变量jR，满足TjjddRwl。则上式成为0jjjRRtx（1,2,,jm=L）于是，根据上一节的特征线理论，可定义（方程组的）第j族特征线:jjdxCt而沿着其中的每一条特征线，都有jR常数。因此将jR称为（方程组的）第j个Riemann不变量。（注）由TTjjjAll，取转置，得TjjjAll，所以矩阵A的左特征向量实际上就是矩阵TA的右特征向量。在因变量变换wwv下，考虑行向量TTTjjwvPq=ll，则而根据双曲型方程组的不变性，1BPAP，有TTTT1TTTjjjjjjjjPPPAPABPPPBq=lllllq所以Tq恰好就是矩阵B的左特征向量。此时，TTTTjjjjdddddRvvwwvPvlllq这表明，Riemann不变量是双曲型方程组在因变量变换下的不变量。11例6：对于一维气体力学方程组，upv，20100uucuB，所以T20010uucuB设T123,,qqqq是矩阵B的左特征向量，则TBqq，即TBI0q。对特征值2u，由2TuBI0q，有方程组12230000000100qcqq，解得20q，213qcq取v3cqp，则2vv1vcpcqccpp，所以T2v1,0,cpq，从而T22vvv1lnlnlnpdRcddpcdpdcdpdvq所以2vlnpRcS就是熵。对特征值1,3uc，由2TucBI0q，有方程组12230000010cqccqqc，解得10q，321qqc取21q，则31qc，所以T1,310,1,cq，从而12T1,31,31ddRdudpcvq对绝热等熵流动，有21dpdcpc，所以22212111pdcpdpdcdcccc从而1,32211dRdudcduc最终得到121Ruc，321Ruc8.Riemann问题考虑一个截面积不变的无限长直管，在直管内的0x=处有一金属膜片。在膜片左侧（0x）的管道内充满了一种气体，其密度为1，压力为1p；而在膜片右侧（0x）的管道内则充满了另一种气体，其密度为2，压力为2p。设在0t=时刻，金属膜片被突然打破，考虑直管内两种气体在破膜后的流动。这一问题称为激波管问题。可以证明，激波管问题存