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龙源期刊网数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题作者：蔡丽菊来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第08期在高中数学中有《排列组合》这一章，对学生逻辑推理能力、分类讨论以及建构模型的能力都有极高的要求，包括现在的数学竞赛中都涉及排列组合问题。其中，“小球与盒子”的模型问题一直是一个热门话题。由于球与盒子都有着“相同”与“不同”的分类，并且具有知识上的综合性、解题技巧上的灵活性以及思维方式上的抽象性，使同学对此类问题感到很是困惑，感觉千变万化，无从下手。下面我就对此模型问题的解法及运用作一个总结和分析，望同学有所感悟。类型一：不同小球入不同盒子的模型1.球少盒多型例1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，有几种不同的放法？解：分四步完成，每一个小球都有5种放法，所以共有种不同的放法。变式1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至多放一个，有几种不同的放法？解：与例1相比，这次把盒子看成元素，即从5个不同的盒子里任意取出4个盒子，来放4个不同的小球，所以这是个排列问题。有种不同的方法。变式2：若将5个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：此题是5个不同小球的全排列问题，所以有种不同的方法。注：此类问题一般用排列组合思想，利用分步计数原理2.球多盒少且每盒至少放一球型例2：若将5个不同的小球，放入4个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？龙源期刊网解：分两步完成，先将5个小球先分成4组，根据题意，每组分别是2个、1个、1个、1个，有种方法；然后再将分成4组的小球放到4个不同的盒子里，相当于全排列，即有种方法，所以共有种不同的方法。变式：若将5个不同的小球放入4个不同的盒子里，恰有1个空盒，有几种不同的放法？解：分三步完成。第一步，选1个空盒，有种不同的方法；类型二：相同小球放入不同盒子的模型例3：若将10个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子不空，有多少种不同的放法？解：此类问题可以用隔板法解决，即在10个小球中间的9个空中放两个相同隔板的问题，自然分成3组，代表放入三个不同盒子中，故有种方法。变式1：若将10个相同的小球放入3个不同的盒子里，允许盒子空，有多少种不同的放法？解：此问题变化的地方是可以空盒，那么怎么保证盒子空时也可以用隔板呢？不如我们再添上3个球，即在13个小球中间的12个空中放两个相同隔板的问题，自然分成3组，代表放入三个不同盒子中，再每个盒子拿走1个小球，这样空的可能就存在了。故有种方法。变式2：若将10个相同的小球装入3个编号分别为1，2，3的盒子，要求盒子里球的个数不小于盒子的编号数，这样的装法总数是多少？龙源期刊网解：此题分两步，先将编号为1，2，3的3个盒子分别放入0，1，2个球，再把剩下的7个球分成3组，即在这7个球中间的6个空档中放入两个相同隔板，自然分成3组，代表放入三个不同盒子中。即3个盒子此时小球肯定不小于编号数了。故有种放法。应用3（名额分配问题）：将10个三好生分配给3个班级。（1）每班至少一个，则共有多少种分配方法？（2）任意分配共有多少种分配方法？（3）若班级为一、二、三班，三好生人数不少于班级数，则共有多少种分配方法？解：由于10个三好生是相同的，那么就等价于10个相同的小球放入3个不同盒子。龙源期刊网（1）隔板法，即9个空格中插入2个隔板，共有种分配方法。（2）即从10个名额和2个隔板，从12个位置中选2个放隔板，共种分配方法。（3）先给一、二、三班0个，1个，2个三好生名额，再对剩下的7个三好生名额用隔板法，共有种分配方法。注：如果是处理“相同元素不同组”模型时，我们都可以用“隔板法”；如果每组元素数为至少一个时，可用插“隔板”；如果出現每组元素数为0个时用排“隔板”。【归纳小结】其实小球入盒是排列组合中非常典型的问题，还有像方程解的问题和名额分配等问题，虽然形式多变，但实际与小球入盒问题是等价的。小球入盒可以分为4类：不同的小球放入相同的盒子里；不同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子中；相同的小球放入不同的盒子里。解决小球入盒问题最高效、最准确的方法是“先分组，后分配”，解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最简易的方法是隔板法。虽然看起来很复杂，其实只有搞清楚类型，注意小球和盒子的“同”与“不同”，对号入座，再次结合两个计数原理，我相信对同学提高此类问题的解题能力一定是有所帮助的。