运筹学-市场营销应用

市场营销应用案例一：媒体选择在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。REL公司已经聘请BP&J来设计宣传活动。考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。表4-1列出了收集到的这些信息。表4-1REL发展公司可选的广告媒体广告媒体预计受众人数广告售价（美元）每月最多可用次数宣传质量单位1.白天电视1000150015652.晚间电视2000300010903.每日报纸150040025404.周日报纸杂志（半彩色）周日新闻250010004605.电台早8:00或晚5:00新闻（30秒）KNOP台3001003020REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。应当推荐何种广告媒体选择计划呢？0问题重述REL公司打算将广告预算分配到各种广告媒体上，且预算为30000美元，在报纸、杂志、电台、电视和直接邮件这些媒体中作出相应的投资优化，并对某些媒体的些许限制，并达到合理的要求，在要求宣传质量达到最高的前提下，制动合理的广告投资方案。一模型建立1.1解设决策变量白天电视为1x、晚间电视为2x、每日报纸为3x、周日报纸杂志（半彩色）周日新闻为4x、电台早8:00或晚5:00新闻（30秒）KNOP台为5x。根据题意有关系模型：12345maxz65x90x40x60x20x(宣传质量)123451234512121234512345151025430s.t1500x3000x400x1000x100x30000xx101500x3000x18000x2000x1500x2500x300x50000x,x,x,x,x0xxxxx100二软件求解2.1根据建模模型，使用Lingo软件解得如图2.1：当设决策变量白天电视为1=10x、晚间电视为2=0x、每日报纸为3=25x、周日报纸杂志（半彩色）周日新闻为4=2x、电台早8:00或晚5:00新闻（30秒）KNOP台为5=30x。且最大宣传质量是2370单位。图2.1LinGo关系模型解线性规划2.2对Lingo输出参数的解释其中，“ReducedCost”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时,目标函数的变化率。其中基变量的reducedcost值应为0，对于非基变量Xj,相应的reducedcost值表示当某个变量Xj增加一个单位时目标函数减少的量(max型问题)。本例中1X--5X均为基变量。“SlackorSurplus”给出松驰变量的值，模型第一行表示目标函数，所以第二行对应第一个约束。“DUALPRICE”（对偶价格）表示当对应约束有微小变动时,目标函数的变化率。输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。若其数值为p，表示对应约束中不等式右端项若增加1个单位，目标函数将增加p个单位（max型问题）。显然，如果在最优解处约束正好取等号（也就是“紧约束”，也称为有效约束或起作用约束），对偶价格值才可能不是0。三灵敏度分析3.1根据LinGo软件得出的灵敏度分析，如图3.1得出下列结论图3.1LinGo关系模型灵敏度分析3.2对于灵敏度结果的解释设决策变量白天电视为1(6565,6525)(0,90)x晚间电视为2(,155)x每日报纸为3(24,)x周日报纸杂志（半彩色）周日新闻为4130(,100)3x电台早8:00或晚5:00新闻（30秒）KNOP台为5(6,)x。需要注意的是：灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不一定是必要条件。比如对于上面的问题，“白天电视增加25次”的含义只能是“总费用增加1500*25/15美元”，这时最优基保持不变，所以影子价格有意义，即宣传质量的增加大于白天电视的投资。反过来，总费用增加，影子价格是否一定没有意义？最优基是否一定改变？一般来说，这是不能从灵敏性分析报告中直接得到的。此时，应该重新用新数据求解规划模型，才能做出判断。所以，从正常理解的角度来看，我们上面回答“白天电视增加25次”并不是完全科学的。四对策建议4.1在最优值不变的情况下，让最优解发生改变，适当增加晚间电视2x,周日报纸杂志（半彩色）周日新闻4x使用量，让适当增加晚间电视2x取值满足约束条件,周日报纸杂志（半彩色）周日新闻4x的取值适当增加，使得多种媒体可以共用的情况下以增加宣传质量。当然也可以在满足条件的情况下适当的减少白天电视1x、每日报纸3x、电台早8:00或晚5:00新闻（30秒）KNOP台5x的投资使用。五参考文献[1]《运筹学》教材编写组.运筹学（第4版）.北京：清华大学出版社，2012.9[2]刘二根，王广超，朱旭生.MATLAB与数学实验.北京：国防工业出版社[3]张建中，许绍吉，线性规划.北京：科技出版社，1990.