3.1.2共线向量与共面向量1

上一节,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.空间向量及其运算(二)平面向量空间向量加法减法运算加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则运算律加法交换律abba加法结合律:()()abcabcabba加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律()()abcabc注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.因为…….很奇妙,这样定义出来的运算竟然和实数的运算在运算律方面有共同特点.ABCDABCDA1B1C1D1a平行六面体：平行四边形ABCD按向量平移到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.a记做ABCD-A1B1C1D1注:始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量思考：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1111111(2)2(3)ADBDxACACABADxAC1111(1)ABADCCxAC已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D11111(1)ABADCC解11111.ABBCCCACx111111(2)2(3)ADBDxACACABADxAC1111(1)ABADCCxAC例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D111(2)2ADBD111ADADBD111()ADBCBD111ADDC1AC111(2)2ADBDxAC1.x111(3)ACABADxAC已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D111(3)ACABAD11()()()ADABAAABAAAD12()ADABAA12AC111(3)ACABADxAC.2x共线向量与共面向量一、共线向量：（与平面向量中完全相同）1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线（基线）互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作//ab．规定:o与任一向量a是共线向量.复习回顾:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作//ab．规定:o与任一向量a是共线向量.2.共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在惟一实数，使ab.二.共面向量:1、共面向量:平行于同一平面的向量，叫共面向量即能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.OAa注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。如果向量a的基线OA与平面平行或在内,称向量a平行,记作a//平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使12ee，a12，1122aeeabBPCA思考1：空间任意向量与两个不共线的向量共面时，它们之间存在怎样的关系呢？pab，ab2.共面向量定理:如果两个向量ab、不共线,则向量p与向量ab、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)xy使pxayb.AabBCPp例如图，已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量,,,,求证：⑴四点E、F、G、H共面；OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD例:已知ABCD从平面AC外一点O引向量A,,,OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD求证：①四点E、F、G、H共面；BCDOEFGH证明：∵四边形ABCD为①∴ACABAD（﹡）EGOGOEkOCkOA()kOCOAkAC（﹡）代入()kABAD()kOBOAODOAOFOEOHOE所以E、F、G、H共面。EFEH类比平面向量的基本定理,在空间中应有一个什么结论?NOCM1e2eaOCOMON1122tete平面向量的基本定理:如果12,ee是平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数12,tt使1122atete.对向量a进行分解,2e1ea类似地,有空间向量基本定理:cabpAO然后证唯一性//,//,//ABbBDaBCc作pOBBAOCODOEDCBxaybzc证明思路：先证存在性E如果三个向量abc、、不共面,那么对于空间任一向量p,存在唯一的有序实数组,,xyz使pxaybzc.对向量p进行分解,注：空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底.如：,,abc例1平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.分析:要用a,b,c表示MN,只要结合图形,充分运用空间向量加法和数乘的运算律即可.ABCDA1B1D1C1MN解:ABCDA1B1D1C1MN连AN,则MN=MA+ANMA=－AC=－(a+b)1313AN=AD+DN=AD－ND=（2b+c)13=（－a+b+c)13∴MN=MA+AN例1平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.练习:已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使MG=2GN，试用基底表示向量,,OAOBOCOGCOABMNG解：在△OMG中，OGOMMG1223OAMN12()23OAONOM111633OAOBOC三、课堂小结：1.共线向量的概念。2.共线向量定理。3.共面向量的概念。4.共面向量定理。