6-4-相对论理论的四维形式解析

1§6.4相对论理论的四维形式2在相对论中时间和空间不可分割，当参考系改变时，时空坐标互相变换，三维空间和一维时间构成一个统一体——四维时空。3四维时空理论可用简洁的四维形式表述出来。利用这种形式可以很清楚地显示出一些物理量之间的内在联系，并且可以把相对性原理用非常明显的形式表达出来。4先回顾一下三维空间的转动性质。先看二维平面上的坐标系转动。设坐标系´相对于坐标系转了一个角。设平面上一点的坐标在系为x,y;在´系x´,y´为。新旧坐标之间有变换关系x´=xcos+ysin,y´=-xsin+ycos.OP2=x2+y2=x´2+y´2=不变量1.三维空间的正交变换5满足此式的二维平面上的线性变换称为正交变换。坐标系转动属于正交变换。OP2=x2+y2=x´2+y´2=不变量正交变换6设为平面上任意矢量。在系中的分量为x,y;起彼伏在´系中的分量为´x,´y。这些分量有变换关系,矢量长度平方为´x=xcos+ysin,´y=-xsin+ycos.||2=2x+2y=´2x+´2y=不变量任意矢量的变换与坐标变换具有相同形式7现在讨论三维坐标转动。设系的直角坐标为(x1,x2,x3),´系的直角坐标为(x´1,x´2,x´3)。三维坐标线性变换一般具有形式x´1=a11x1+a12x2+a13x3,x´2=a21x1+a22x2+a23x3,x´1=a31x1+a32x2+a33x3.8坐标系转动时距离保持不变,应有x´12+x´22+x´32=x12+x22+x32满足此式的线性变换称为正交变换。空间转动属于正交变换,式中的系数aij依赖于转动轴和转动角。9坐标变换式32131,,,'ixaxjjiji在一般情形中,当公式中出现重复下标时(如上式右边的j),往往都要对该指标求和。这是现代物理中通用的约定。10爱因斯坦约定:除特别声明外,凡有重复下标时都意味着要对它求和。以后为了书写方便,省略求和符号。变换式可简写为jijixax'正交条件是不变量iiiixxxx''11正交变换条件iikikjijxxxaxakjkjjk若若0,1jijixax'不变量iiiixxxx''ijikijaa12ljljjijiliilxxxaaxa'iillxax'反变换式jijixax'13转置矩阵jiijaa~正交条件式可用矩阵乘法写为Iaa~其中I为单位矩阵333231232221131211aaaaaaaaaaija~变换系数矩阵形式14根据物理量在空间转动下的变换性质分类2.物理量按空间变换性质的分类标量、矢量、张量等15在空间中没有取向关系,当坐标系转动时保持不变的物理量。如质量、电荷等。设在坐标系中某标量用u表示,在转动后的坐标系´中用u´表示。由标量不变性有u´=u(1)标量16在空间中有一定的取向性，用三个分量表示的，当空间坐标作转动变换时，三个分量按同一方式变化的物理量。例如速度、力、电场强度和磁场强度等都是矢量。以代表矢量,在坐标系中的分量为i,在转动后的´系中的分量为´i。与坐标变换式对应,有矢量变换关系iijia'(2)矢量17有些微分算符也具有矢量性质ix/ix'/jijjijixaxxxx''18这类物理量要用两个矢量指标表示,有9个分量,显示出更复杂的空间取向性质。当空间转动时,其分量Tij按以下方式变换具有这种变换关系的物理量称为二阶张量。例如应力张量,电四极矩等。kljlikijTaaT'(4.19)(3)二阶张量19Tij=TjijikliljkkljkillkjlikkljlikijTTaaTaaTaaTaaT''二阶张量还可以进一步分类对称张量变换后仍为对称张量20Tij=-Tji反对称张量变换后仍为反对称张量jikliljkkljkillkjlikkljlikijTTaaTaaTaaTaaT''21对称张量的迹是一个标量不变量kkklklklilikiiTTTaaT'22二阶张量可以分解为三个部分迹Tii无迹对称张量Tij=Tji,Tii=0,反对称张量Tij=-Tji.电四极矩就是一个无迹对称张量,它只有5个独立分量。23两矢量和w的标积iwi是一个标量。张量Tij可以和一个矢量j作出乘积Tijjiwi=aijjaikwk=ikjwk=jwj=不变量此式具有矢量的变换关系，因此是一个矢量。T´ij´j=aikajlTklajnn=aiklnTkln=aikTijj24三维坐标转动是满足距离不变的线性变换,即x´12+x´22+x´32=x12+x22+x32=不变量jijixax'3.洛伦兹变换的四维形式25洛伦兹变换是满足间隔不变的四维时空线性变换x´12+x´22+x´32－c2t´2=x12+x22+x32－c2t2形式上引入第四维虚数坐标x4=ict26则间隔不变式可写为x´12+x´22+x´32+x´42=x12+x22+x32+x42=不变量以后在下角指标中用拉丁字母代表1-3,希腊字母代表1-4,间隔不变式可写为x´2x´2=x2x2=不变量27洛伦兹变换是满足间隔不变性式的四维线性变换x´=ax28洛伦兹变换形式上可以看作四维空间的“转动”,因而三维正交变换的关系可以形式上推广到洛伦兹变换中去。须注意的是,这四维空间的第四个坐标是虚数,因此它是复四维空间,不同于实数的四维欧几里德(Euclid)空间。29沿x轴方向的特殊洛伦兹变换式的变换矩阵为000100001000iia2211cc,30逆变换矩阵0001000010001iiaa~变换式满足正交条件Iaa~31在四维形式中，时间与空间统一在一个四维空间内，惯性参考系的变换相当于四维空间的“转动”。由于物质在时空中运动，描述物质运动和属性的物理量必然会反映出时空变换的特点。把三维情形推广，我们也可以按照物理量在四维空间转动（洛伦兹变换）下的变换性质来把物理量分类。4.四维协变量32VaV'TaaT'四维矢量四维张量u´=u洛伦兹标量在惯性系变换下与坐标有相同变换关系33这些物理量(标量、矢量和各阶张量)在洛伦兹变换下有确定的变换性质间隔dxdxds2为洛伦兹标量协变量固有时dscd1洛伦兹标量34四维速度矢量UddxU通常意义下的速度ui不是四维矢量的分量通常意义下的速度ui是用参考系的时间量度的位移变换率,ui的变换式不同于洛伦兹变换。因为当坐标系变换时,dxi按四维矢量的分量变换,但dt也发生改变,因此ui就不按矢量方式变换。dtdxuii2211cuddt35U是用固有时量度的位移变换率),,,(icuuuU321U的前三个分量和普通速度联系着，当c时即为u,因此称为四维速度。参考系变换时,四维速度有变换关系UaU'36设有一角频率为,波矢量k为的平面电磁波在真空中传播。在另一参考系´上观察,该电磁波的频率和传播方向都会发生改变(多普勒效应和光行差效应)。以´和k´表示´上观察到的角频率和波矢量。电磁波的相位因子txkei,在另一参考系观察的相位因子''''','txkei四维波矢量37第一事件：设参考系和´的原点在时刻t=t´=0重合。在该时刻,两参考系的原点上都观察到电磁波处于波峰,相位=´=0。第二事件：在系n个周期(t=2n/)后,第n个波峰通过系原点,相位=-2n。它在上的时空坐标为(x=0,t=2n/),在´上的时空坐标(x´,t´)可用洛伦兹变换求得,而相位同样是´=-2n。相位和´的关系38这是因为某个波峰通过某一时空点是一个物理事件,而相位只是计数问题,不应随参考系而变。因此,相位是一个不变量不变量'相位和´的关系39不变量''''txktxk类似x与ict合为四维矢量x,k与i/c合为另一个四维矢量k,它们按四维矢量方式变换,有不变量xkxk''四维波矢量),(cikk40在洛伦兹变换下,k的变换式为kak'洛伦兹变换)(,,),(''''13322211kkkkkckk41设波矢量k与x轴方向的夹角为,k´与x轴的夹角为´,有'''cos,cosckck11)(cossin,cos(''ctgc1－－相对论的多普勒效应和光行差公式42若为光源的静止参考系,则´=0,0为静止光源的辐射角频率。运动光源辐射的角频率)cos(c10其中为光源的运动速度,为上观察者看到辐射方向与光源运动方向的夹角。当c时,≈1,得经典多普勒效应公式)(,coscc1043在垂直于光源运动方向观察辐射时,经典公式给出=0,而相对论公式给出)(,901220c即在垂直于光源运动方向上,观察到的角频率小于静止光源的辐射频率。这现象称为横向多普勒效应。横向多普勒效应为LvesStilwell实验所证实,它是相对论时间延缓效应的证据之一。44设在参考系上观察,由光源辐射出的光线在xy面上,与x轴有夹角,则sin,coscucuyx设´系相对于以速度沿x轴方向运动,在´系上观察到光线与x轴有夹角´,)(cossin)('''cxyxyuuuutg光行差公式也可以由速度变换公式导出45光行差较早为天文观测所发现(Bradley于1728年)。如设地球相对于太阳参考系的运动速度为,在上看到某恒星发出的光线的倾角为=-,在地球上用望远镜观察该恒星时,倾角变为´=-´。由于c,得ctgcossin'46由于地球绕太阳公转,一年之内地球运动速度的方向变化一个周期,因此,同一颗恒星发出的光线的表观方向也变化一个周期。天文观测证实了这种周期变化,并且由光线表观方向的改变比较准确地导出光的传播速度。在相对论以前的以太理论中,光行差的存在表明地球相对于“以太”运动,但以后的迈克尔孙实验却否定了地球相对于“以太”的运动。正是这会总矛盾最后导致以太和绝对参考系的被否定,从而建立狭义相对论的时空观。475.物理规律的协变性四维矢量在参考系变换下有GF''GGaFaF在参考系变换下方程形式不变的性质称为协变性。相对性原理要求一切惯性参考系都是等价的。48相对性原理要求一切惯性参考系都是等价的。在不同惯性系中,物理规律应该可以表为相同形式。如果表示物理规律的方程是协变的话,它就满足相对性原理的要求。因此,用四维形式可以很方便地把相对性原理的要求表达出来。只要我们知道某方程中各物理量的变换性质,就可以看出它是否具有协变性。