9106年考研数四真题及答案解析

12006年全国硕士研究生入学考试数学（四）一、填空1．(1)1lim()nnnn2．设函数()fx在2x的某邻域内可导，且()()(2)1fxfxef，则法(2)f3．设函数()fu可微，且1()2fu，则22(4)zfxy在点（1，2）处的全微分(1,2)|dz4．已知12,aa为2维列向量，矩阵1212(2,)Aaaaa，12(,)Baa。若行列式||6A，则||B=5．设矩阵2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B。6．设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[1,3]上的均匀分布，由{max(,)1}Pxy二、选择7．设函数()yfx具有二阶导数，且()0fx，()0fx，x为自变量x在点0x处的增量y与dy分别为()fx在点0x处对应的增量与微分，若0x，则（）（A）0dyy（B）0ydy（C）0ydy（D）0dyy8．设函数()fx在0x处连续，且220()lim1nfnn，则（）（A）(0)0f且(0)f存在（B）(0)1f且(0)f存在（C）(0)0f且(0)f存在（D）(0)1f且(0)f存在9．设函数()fx与()gx在[0,1]上连续，且()()fxgx，且对任何(0,1)C（）（A）1122()()ccftdtgtdt（B）1122()()ccftdtgtdt2（C）11()()ccftdtgtdt（D）11()()ccftdtgtdt10．设非齐次线性微分方程()()yPxyQx有两个不同的解1()yx，2()yx，C为任何常数，则该方程通解是（）（A）12[()()]Cyxyx（B）112()[()()]yxCyxyx（C）12[()()]Cyxyx（D）112()[()()]yxCyxyx11．设(,)fxy与(,)Gxy均为可微函数，且(,)0Gxy，已知00(,)xy是(,)fxy在约束条件(,)0Gxy下的一个极值点。下列选择正确的是（）（A）若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy（B）若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy（C）若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy（D）若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy12．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第一列的-1倍加到第2列得C，记110010001P，则（）（A）1CpAP（B）1CPAP（C）TCPAP（D）TCPAP13．设,AB为两个随机事件，且()0PB，(|)1PAB则有（）（A）()()PABPA（B）()()PABPB（C）()()PABPA（C）()()PABPB14．设随机变量X服从正态分布211(,)Nu，随机变量Y服从正态分布222(,)Nu，且12{||13){||1)PXuPYu，则必有（）（A）12（B）12（C）12uu（D）12uu三、解答题315．设1sin(,),0,01arctanxyyyfxyxyxyx求：（1）()lim(,)ygxfxy（2）0lim()ygx16．计算二重积分2Dyxydxdy，其中D是由曲线yx，1y，0x，所围成的平面区域。17．证明：当0ab时，sin2cossin2cosbbbbaaaa18．在xoy坐标平面中，连续曲线L过点(1,0)M，其上任意点(,)(0)Pxyx处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数0a）（1）求L的方程（2）当L与直线yax所围成平面图形的面积为时83，确定a的值。19．试确定常数,,ABC的值，使得23(1)1()xeBxCxAxOx，其中3()Ox是当0x时比3x高阶的无穷小。20．设4维向量组1(1,1,1,1)Taa，2(2,2,2,2)Taa，3(3,3,3,3)Taa，4(4,4,4,4)Taa，问a为何值时1234,,,aaaa线性相关？当1234aaaa线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余量用该极大线性无关组线性表出。21．设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量1(1,2,1)TI，2(0,1,1)TI，是线性方程组0Ax的两个解。（1）求A的特征值与特征向量（2）求正交矩阵Q和对角矩阵A，使TQAQA；（3）求A及3()2AE，其中E为3阶单位矩阵。22．设二维随机变量（,XY）的概率分布为其中,,abc为常数，且x的数学期望0.2EX，{0,0}0.5Pxy，记ZXY求：（1）,,abc的值（2）Z的概率分布（3）{}PXZ23．设随机变量X的概率密度为41,1021(),02,40,yxfxx其它令2YX，(,)FXY为二维随机变量(,)XY的分布函数。求：（1）Y的概率密度()Yfy（2）cov(,)XY（3）1(,4)2F5题解678910111213线代(4)设1,2是两个2维向量，A=(21+2,1-2)，B=(1,2).已知|A|=6,则|B|=().解:可以用行列式的性质解,但是用新东方辅导班上介绍的“矩真分解法”来做更加简单:A=(21+2,1-2)=(1,2)21=B21,1-11-1两边取行列式,得6=-3|B|,|B|=-2.(5)设A=21,2阶矩阵B满足BA=B+2E,则B=.-12解:由BA=B+2E化得B(A-E)=2E,于是B=2(A-E)-1=|A-E|(A-E)-1(|A-E|=2)=(A-E)*=1-1.11(12)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记110P=010,则001(A)C=P-1AP.(B)C=PAP-1.(C)C=PTAP.(D)C=PAPT.解:(B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA,1-10C=B010=BP-1=PAP-1.001(20)设1=(1+a,1,1,1),2=(2,2+a,2,2),3=(3,3+a,3,3),4=(4,4,4,4+a).问a为什么数时1,2,3,4线性相关?在时1,2,3,4线性相关时求其一个极大线性无关组,并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出.解:1,2,3,4线性相关,即行列式|1,2,3,4|=0,而|1,2,3,4|=a3(a+10),于是当a=0或-10时1,2,3,4线性相关.a=0时,1是1,2,3,4的极大无关组,2=21,3=31,4=41.a=-10时,-9234-100010100-1(1,2,3,4)=1-8340-10010010-1.12-7400-1010001-1123–6123-60000则1,2,3是1,2,3,4的极大无关组,4=-1-2-3.(21)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量1=(-1,2,-1)T,2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.①求A的特征值和特征向量.14②求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得QTAQ=.③求A及[A-(3/2)E]6.解:①条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值为3.又1,2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于1,2线性无关,特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c0,c0.属于0的特征向量:c11+c22,c1,c2不都为0.②将0单位化,得0=(33,33,33)T.对1,2作施密特正交化,的1=(0,-22,22)T,2=(-36,66,66)T.作Q=(0,1,2),则Q是正交矩阵,并且300QTAQ=Q-1AQ=000.000③1-10300111A1-2-1=300,解此矩阵方程,得A=111.1-11300111(A-23E)2=A2-3A+49E=49E,(A-23E)6=64729E.15概率（6）91（13）C（14）A（22）解：（Ⅰ）X的边缘分布为X-101Pa+0.2b+0.3c+0.12.0)1.0()2.0()(caXE5.05.01.0}0{}0,0{}0/0{babaXPYXPXYP11.01.02.02.0cba所以：1.0,1.0,2.0cba（Ⅱ）Z-2-1012P0.20.10.30.30.1（Ⅲ）2.01.01.00}0{}{YPZXP（23）随机变量X的概率密度为其他,020,4101,21)(xxxfX，令2XY，),(yxF为二维随机变量）（YX,的分布函数。（Ⅰ）求Y的概率密度；（Ⅱ）),cov(YX；（Ⅲ）)4,21(F解：（Ⅰ）yyyyyXPyYPyFY4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2式式yyydxdxyXyP00434121)()1(式；16yydxdxyXyP00141214121)()2(式。所以：其他,041,8110,83)()('yyyyyFyfYY这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型。（Ⅱ）),cov(YX)()()()()()(23XEXEXEYEXEXYE2001414121)(dxxdxxXE；2020122654121)(dxxdxxXE；2030133874121)(dxxdxxXE所以：),cov(YX32654187。（Ⅲ）)4,21(F)212()22,21()4,21()4,21(2XPXXPXXPYXP4121211dx。（23）设总体X的概率密度为其他,021,110,),(xxxf，其中是未知参数（01）。nXXX,,21为来自总体的简单随机样本，记N为样本值nxxx,,21中小于1的个数。求：（Ⅰ）的矩估计；（Ⅱ）的最大似然估计。17解：（Ⅰ）23)1()(2110dxxdxxXEX，所以：X23矩。（Ⅱ）对样本nxxx,,21按照1或者≥1进行分类：pNppxxx,,211，pnpNpNxxx,,21≥1。似然函数其他，,01,,,1,,)1()(2121pnpNpNpNppNnNxxxxxxL，在pNppxxx,,211，pnpNpNxxx,,21≥1时，)1ln()(ln)(lnNnNL，01)(lnNnNdLd，所以nN最大。181920