2012新课标人教A版数学同步导学课件2223《独立重复试验与二项分布》选修23

2.2.3独立重复试验与二项分布1．理解n次独立重复试验的模型．2．理解二项分布．3．能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.1．n次独立重复试验的概念．(重点)2．二项分布的概念．(重点)3．应用二项分布解决实际问题．(难点)在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环，甲、乙两班顺利进入最后的决赛．在每一场比赛中，甲班取胜的概率为0.6，乙班取胜的概率是0.4，比赛既可以采用三局两胜制，又可以采用五局三胜制．如果你是甲班的一名同学．你认为采用哪种赛制对你班更有利？1．n次独立重复试验的概念在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．2．二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为．X～B(n，p)成功概率CnkPk(1－p)n－k1．独立重复试验应满足的条件是()①每次试验之间是互相独立的；②每次试验只有发生与不发生两种结果；③每次试验中发生的机会是均等的；④各次试验发生的事件是互斥的．A．①②B．②③C．①②③D．①②④解析：由独立重复试验的概念可知应选C.在独立重复试验中，各次试验发生的事件A可以同时发生，故各次试验发生的事件并不互斥．答案：C2．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球：若取出黑球，则放回箱中，重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为()A.C53·C41C54B.593×49C.35×14D．C41593×49解析：由题意可知，第4次取出的一定是白球，前三次取出的一定是黑球，符合几何分布，故所求概率P＝593×49.答案：B3．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝59，则p＝____________.解析：∵X～B(2，p)，∴P(X＝k)＝C2kpk(1－p)2－k，k＝0,1,2.∴P(X≥1)＝1－P(X＜1)＝1－P(X＝0)＝1－C20p0(1－p)2＝1－(1－p)2.∴1－(1－p)2＝59，结合0≤p≤1，解之得p＝13.答案：134．下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列．解析：(1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C30×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C31×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C32×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；(2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．由于“每次射击击中目标”这一事件中各次射击的结果互不影响，因此它们之间是相互独立的．射击n次，即为n次独立重复试验．解答本题的关键是要注意“恰有k次发生”和“某指定的k次发生”的差异．[解题过程](1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为P＝35×1－35×35×1－35×35＝1083125；(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标．根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C53种情况，因为各次射击的结果互不影响，所以符合n次独立重复试验概率模型．故所求概率为P＝C53×3531－352＝216625；(3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体可得共有C31种情况．故所求概率为P＝C31·353·1－352＝3243125.[题后感悟]解答这类概率的应用题，首先要理解题意，建立相应的概率模型，然后用其对应的概率公式求解．如果是相互独立事件的概率模型，公式为pk(1－p)n－k；如果是n次独立重复试验概率模型，其公式为Cnkpk·(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．1.在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23.(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ不小于4的概率．解析：(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为：C51·23·134＋135，所以所求的概率为1－C51·23·134＋135＝232243.(2)当ξ＝4时记为事件A，则P(A)＝C31·23·132·23＝427.当ξ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B，则P(B)＝C41·23·133＋134＝19，所以所求概率为：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝427＋19＝727.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13，设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列．[策略点睛][解题过程]将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为13，且每次试验结果是相互独立的，故X～B6，13，所以P(X＝k)＝C6k13k236－k，k＝0,1,2,3,4,5,6.因此X的分布列为X0123456P2366×13×23515×132×23420×133×23315×134×2326×135×23136[题后感悟](1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：其一是独立性实验之间互不影响且一次试验中事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是在相同条件下重复了n次．(2)二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布，它应用十分广泛，利用二项分布的模型可以快速地写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量取每一个具体概率值的过程，因此我们应熟练掌握二项分布．利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．2.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．解析：3个人各做一次试验，看成三次独立重复试验，拨通这一电话的人数即为事件发生的次数X，故符合二项分布．由题意：X～B3，34，所以P(X＝k)＝C3k34k143－k，k＝0,1,2,3，分布列为X0123P16496427642764甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．解答本题(1)可用二项分布的概率公式求出．(2)可先把AB划分为两个互斥事件，分别求概率相加．[规范解答](1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且P(ξ＝0)＝C30×1－233＝127，P(ξ＝1)＝C31×23×1－232＝29，……………2分P(ξ＝2)＝C32×2321－23＝49，P(ξ＝3)＝C33×233＝827，……………………4分所以ξ的分布列为………………6分ξ0123P1272949827(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB＝C∪D，C，D互斥.8分P(C)＝C32×232×1－23×23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝1034，……10分P(D)＝435，P(AB)＝P(C)＋P(D)＝1034＋435＝3435＝34243.…………12分[题后感悟](1)求离散型随机变量的分布列是一类重要题型，对后面学习离散型随机变量的期望方差也有重要的作用．(2)求分布列时应注意应用超几何分布，二项分布等几何模型，以达到事半功倍的效果．3.有10台都为7.5千瓦的机床，如果每台机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12min，问全部机床用电超过48千瓦的可能性有多大？(保留两位有效数字)解析：由于每台机床正在工作的概率为1260＝15，而且每台机床有“工作”与“不工作”两种情况，故每一时刻正在工作的机床台数服从二项分布，即X～B(10,0.2)，P(X＝k)＝C10k(0.2)k(0.8)10－k(k＝0,1,2，…，10)，根据题意，48千瓦可供6台机床同时工作，用电超过48千瓦，即意味着7台或7台以上的机床在工作，这一事件的概率为P(X≥7)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝C107(0.2)7(0.8)3＋C108(0.2)8(0.8)2＋C109(0.2)9(0.8)1＋C1010(0.2)10(0.8)0≈8.6×10－4.由上面可以看到，用电量超过48千瓦的可能性是很小的，据此，可以选择适当的供电设备，做到既保证供电而又合理节约用电．1．独立重复试验必须具备哪些条件？(1)每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变．(2)各次试验结果互不影响，即每次试验相互独立．(3)每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的．[提醒]独立重复试验的原理是有放回地抽样检验问题，在实际生产中有广泛的应用．2．如何理解n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式？(1)在n次试验的结果中，有些试验的结果是A，有些试验的结果是A，所以当事件A恰好发生k次时，就是k个A同(n－k)个A的一种搭配，搭配种数为Cnk实际把事件A恰好发生k次分成了Cnk个两两互斥的事件的并集．另外，每一种搭配发生的概率都是pk(1－p)n－k，所以有P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k.(2)二项式[(1－p)＋p]n的展开式中，第k＋1项为Tk＋1＝Cnk(1－p)n－kpk，可见P(X＝k)就是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项，故此公式称为二项分布公式．3．二项分布与两点分布有何异同点？(1)相同点：试验结果都只有两种可能结果——成功或失败．随机变量X取不同值所对应的事件之间都是互斥的，均满足分布列的性质．(2)不同点：两点分布是针对一次试验而言，而二项分布则是对n次独立重复试验来说的．二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布．◎100件产品中有3件次品，每次取