高考一轮复习-同角三角函数基本关系与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)同角三角函数的基本关系:①平方关系:_______________.②商数关系:__________.sin2α+cos2α=1sintancos=(2)三角函数的诱导公式:组数一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-α正弦sinα_______________________________余弦cosα________________________________正切tanα____________________22-sinα-sinαsinαcosαcosα-cosαcosα-cosαsinα-sinαtanα-tanα-tanα2.必备结论教材提炼记一记(1)sin2α=1-cos2α,cos2α=________.1-sin2α(2)特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°150°180°角α的弧度数0πsinα________1________0cosα________0________-1tanα_____1___________064322356012223232121322212123203333333.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:统一法,整体代换法.(2)数学思想:转化与化归的思想.(3)记忆口诀:三角函数诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)120°角的正弦值是，余弦值是()(2)同角三角函数关系式中的角α是任意角.()(3)六组诱导公式中的角α可以是任意角.()(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关.()123.2【解析】(1)错误.sin120°=sin(180°-60°)=sin60°=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=(2)错误.在tanα=中α≠+kπ，k∈Z.(3)错误.对于正、余弦的诱导公式角α可以为任意角，而对于正切的诱导公式α≠＋kπ，k∈Z.(4)正确.诱导公式的“符号看象限”中的符号是把任意角α都看成锐角时原函数值的符号，因而与α的大小无关.答案：(1)×(2)×(3)×(4)√3,21.2sincos222.教材改编链接教材练一练(1)(必修4P21T5改编)已知f(x)=则f(-)的值为()A.0B.1C.-5D.-9【解析】选C.f(-)=sin0+2sin(-)-4cos(-)+3cos(-π)=0+2×(-1)-4×0+3×(-1)=-5.sin(x)2sin(x)4cos2x4433cos(x),44422(2)(必修4P22T3改编)已知tanα=-2,则=______.【解析】原式=答案:-2223sincossincos23tan62.tan1413.真题小试感悟考题试一试(1)(2015·泰安模拟)sin600°的值为()【解析】选B.sin600°=sin(360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=1313A.B.C.D.22223.2(2)(2015·梅州模拟)已知α为锐角，且tan(π-α)+3=0,则sinα的值是()【解析】选B.方法一：由tan(π-α)+3=0得tanα=3，即sinα=3cosα,所以sin2α=9(1-sin2α),10sin2α=9,sin2α=又因为α为锐角，所以sinα=1333A.B.10C.7D.531075sin3,cos9.10310.10方法二：因为α为锐角，且tan(π-α)+3=0,所以-tanα+3=0即tanα=3.在如图直角三角形中，令A=α，BC=3则AC=1，故所以22AB3110.33sin10.1010(3)(2015·厦门模拟)已知α是第四象限角，则sinα=.【解析】=cosα=,因为α是第四象限角，所以sinα=答案：1sin(),23sin()2132221cos.3223考点1诱导公式的应用【典例1】(1)(2015·兰州模拟)计算：2sin()+cos12π+tan=______.(2)已知cos(-α)=，则sin(α-)=_____.(3)(2015·淮南模拟)已知f(x)=则f()=________.31674623233sin(2x)cos(x)2,11cos(3x)sin(x)2214【解题提示】(1)利用诱导公式化大角为小角，再求值.(2)注意角-α与α-的关系，用诱导公式转化求值.(3)利用诱导公式先化简，再求值.623【规范解答】(1)原式=答案：152sin(6)cos0tan(2)6452sin1tan2sin()112sin1.6466(2)因为所以答案：2()()632，2sin()sin[()]3262sin[()]cos().266323(3)因为f(x)=所以答案：-1sin(x)sinxcos(x)sin[6(x)]22222sinxsinxtanx.cosxcosx[sin(x)]2222121f()tan()tan(5)44422tan()tan1.44【互动探究】在本例题(2)的条件下，求的值.【解析】5cos()sin()635cos()sin()6324cos[()]sin[()]cos().62669【规律方法】1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cosα.【变式训练】(2015·济宁模拟)计算：【解析】原式答案：-12912sin()costan465＋2215cos()sin_______.32[phone]sin()costan4cossin6532＋＋51243sin(4)costan4cos(6)sin(6)653251243sincostan0cossin65323sin()0cos()sin63211sincos111.6322＋＋＋＋＋＋＋【加固训练】1.(2015·南昌模拟)已知sin(x+)=，则cos(x+)的值为()【解析】选B.因为所以12137121122A.B.C.2D.233331sin(x)123，71cos(x)cos[(x)]sin(x).122121232.已知A=(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A.{1，-1,2，-2}B.{-1,1}C.{2，-2}D.{1，-1,0,2，-2}【解析】选C.当k为偶数时，A=k为奇数时，sin(k)cos(k)sincos＋sincos2sincos＋；sincosA2.sincos3.(2014·扬州模拟)已知点(tan,sin(-))是角θ终边上一点，则cos(+θ)=_______.【解析】将(tan,sin(-))化简得：(1，-)，在第四象限，所以sinθ=则答案：546525461222152,511()255cos()cos(2)sin.22555考点2同角三角函数关系式的应用【典例2】(1)(2015·青岛模拟)已知α是第四象限角，sinα=则tanα=()(2)化简：(1+tan2α)(1-sin2α)=_______.(3)(2015·银川模拟)若tanα=，则=_______，sin2α＋2sinαcosα=__________.1213，551212A.B.C.D.13135543sin4cos5sin2cos【解题提示】(1)先求cosα，再求tanα，注意角α的范围.(2)切化弦,注意应用公式的变形.(3)第一个式子的分子分母都是关于sinα，cosα的一次式，第二个式子的分母看成1，然后转化为sin2α+cos2α，此时分子分母都是关于sinα，cosα的二次式，利用商数关系转化成关于tanα的表达式求解.【规范解答】(1)选C.因为α是第四象限角，sinα=所以cosα=故tanα=(2)原式=答案：11213，251sin13，sin12.cos522222sin(1)coscossin1.cos(3)答案：44sin4costan483.45sin2cos5tan275()23222222sin2sincossin2sincossincos168tan2tan893.161tan2519＋88725【一题多解】解答本例题(3)，你还知道几种解法？解答本题，还有以下两种解法：方法一：因为tanα=所以sinα=所以sin4cos3，4cos3，44cos4cos4sin4cos833.20205sin2cos7cos2cos23322222222168168coscossin2sincos89393sin2sincos.1616sincos25coscos199方法二：因为tanα=所以sinα=cosα，又因为sin2α+cos2α=1，所以由tanα=0,知α是二、四象限角.当α是第二象限角时，此时当α是第四象限角时，sin4cos3，43222216916coscos1cossin.92525，，4343sin,cos,55434sin4cos855.435sin2cos7525543sin,cos,55此时答案：434sin4cos855.35sin2cos7425222816898sin2sincossincos.3253252588725【规律方法】同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互化，利用=tanα可以实现角α的弦切互化.(2)关系式的逆用及变形用：1=sin2α+cos2α，sin2α=1-cos2α，cos2α=1-sin2α.(3)sinα，cosα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sinα，cosα的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sinαcosα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α=1”代换后转化为“切”后求解.sincos【变式训练】1.(2015·长沙模拟)化简：=_______.【解析】原式=答案：sin2x11tanxtanx2222sinxtanxsinxcosxcosxsinxtanx1sinxcosx()1cosx1sinxcosxsin2x.2122.已知则sinxcosx+cos2x=____.【解析】由已知,得解得tanx=2，所以答案：sinx3cosx53cosxsinx，tanx353tanx，22222sinxcosxcosxtanx13sinxcosxcosx.sinxcosxta