初中数学竞赛辅导资料(49)

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免费教学资源网站无需注册,免费下载,关注课件、试题、教案的打包下载和参考(小学)46332927(中学)初中数学竞赛辅导资料(49)对称式甲内容提要一.定义1.在含有多个变量的代数式f(x,y,z)中,如果变量x,y,z任意交换两个后,代数式的值不变,则称这个代数式为绝对对称式,简称对称式.例如:代数式x+y,xy,x3+y3+z3-3xyz,x5+y5+xy,yx11,xyzxzxyzzyxyzyx.都是对称式.其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.2.在含有多个变量的代数式f(x,y,z)中,如果变量x,y,z循环变换后代数式的值不变,则称这个代数式为轮换对称式,简称轮换式.例如:代数式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),2x2y+2y2z+2z2x,abccba1111,(xy+yz+zx)()111zyx,222222222111bacacbcba.都是轮换式.显然,对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1.含两个变量x和y的对称式,一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2.对称式中,如果含有某种形式的一式,则必含有,该式由两个变量交换后的一切同型式,且系数相等.例如:在含x,y,z的齐二次对称多项式中,如果含有x2项,则必同时有y2,z2两项;如含有xy项,则必同时有yz,zx两项,且它们的系数,都分别相等.故可以表示为:m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx)其中m,n是常数.3.轮换式中,如果含有某种形式的一式,则一定含有,该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式,且系数相等.例如:轮换式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)中,有因式a-b一项,必有同型式b-c和c-a两项.4.两个对称式(轮换式)的和,差,积,商(除式不为零),仍然是对称式(轮换式).例如:∵x+y,xy都是对称式,∴x+y+xy,(x+y)xy,xyyx等也都是对称式.∵xy+yz+zx和zyx111都是轮换式,免费教学资源网站无需注册,免费下载,关注课件、试题、教案的打包下载和参考(小学)46332927(中学)∴zyx111+xy+yz+z,(zyx111)(xy+yz+z).也都是轮换式..乙例题例1.计算:(xy+yz+zx)()111zyx-xyz()111222zyx.分析:∵(xy+yz+zx)()111zyx是关于x,y,z的轮换式,由性质2,在乘法展开时,只要用xy分别乘以x1,y1,z1连同它的同型式一齐写下.解:原式=(zxyyzxxyz+)+(z+x+y)+(y+z+x)-(zxyyzxxyz +)=2x+2y+2z.例2.已知:a+b+c=0,abc≠0.求代数式222222222111bacacbcba的值(1989年泉州市初二数学双基赛题)分析:这是含a,b,c的轮换式,化简第一个分式后,其余的两个分式,可直接写出它的同型式.解:∵2221cba=222)(1baba=ab21,∴222222222111bacacbcba=-ab21-bc21-ca21=-abcbac2=0.例3.计算:(a+b+c)3分析:展开式是含字母a,b,c的三次齐次的对称式,其同型式的系数相等,可用待定系数法.例4.解:设(a+b+c)3=m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc.(m,n,p是待定系数)令a=1,b=0,c=0.比较左右两边系数得m=1;令a=1,b=1,c=0比较左右两边系数得2m+2n=8;令a=1,b=1,c=1比较左右两边系数得3m+6n+p=27.解方程组27638221pnmnmm得631pnm∴(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc.免费教学资源网站无需注册,免费下载,关注课件、试题、教案的打包下载和参考(小学)46332927(中学)例5.因式分解:①a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b);②(x+y+z)5-(y+z-x)5-(z+x-y)5-(x+y-z)5.解:①∵当a=b时,a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=0.∴有因式a-b及其同型式b-c,c-a.∵原式是四次齐次轮换式,除以三次齐次轮换式(a-b)(b-c)(c-a),可得一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法:得a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=m(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)比较左右两边a3b的系数,得m=-1.∴a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a).②x=0时,(x+y+z)5-(y+z-x)5-(z+x-y)5-(x+y-z)5=0∴有因式x,以及它的同型式y和z.∵原式是五次齐次轮换式,除以三次轮换式xyz,其商是二次齐次轮换式.∴用待定系数法:可设(x+y+z)5-(y+z-x)5-(z+x-y)5-(x+y-z)5=xyz[m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)].令x=1,y=1,z=1.比较左右两边系数,得80=m+n;令x=1,y=1,z=2.比较左右两边系数,得480=6m+n.解方程组480680nmnm得080nm.∴(x+y+z)5-(y+z-x)5-(z+x-y)5-(x+y-z)5=80xyz(x+y+z).丙练习491.已知含字母x,y,z的轮换式的三项x3+x2y-2xy2,试接着写完全代数式________________.2.已知有含字母a,b,c,d的八项轮换式的前二项是a3b-(a-b),试接着写完全代数式_________________________________.3.利用对称式性质做乘法,直接写出结果:①(x2y+y2z+z2x)(xy2+yz2+zx2)=_____________________.②(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)=___________________.4.计算:(x+y)5.5.求(x+y)(y+z)(z+x)+xyz除以x+y+z所得的商.6.因式分解:①ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a);②(x+y+z)3-(x3+y3+z3);③(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc;④a(b-c)3+b(c-a)3+c(a-b)3.免费教学资源网站无需注册,免费下载,关注课件、试题、教案的打包下载和参考(小学)46332927(中学)7.已知:abccba1111.求证:a,b,c三者中,至少有两个是互为相反数.8.计算:bcacabaa22+cababcbb22+abcbcacc22.9.已知:S=21(a+b+c).求证:16)(416)(416)(4222222222222222bacacacbcbcbaba=3S(S-a)(S-b)(S-c).10.若x,y满足等式x=1+y1和y=1+x1且xy≠0,那么y的值是()(A)x-1.(B)1-x.(C)x.(D)1+x.返回目录参考答案

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