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2015年上海市中考数学试卷一、选择题1．下列实数，是有理数的为（）A．B．C．πD．02．当a＞0时，下列关于幂的运算正确的是（）A．a0=1B．a﹣1=﹣aC．（﹣a）2=﹣a2D．a=3．下列y关于x的函数，是正比例函数的为（）A．y=x2B．y=C．y=D．y=4．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．75．下列各统计量，表示一组数据波动程度的量是（）A．平均数B．众数C．方差D．频率6．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD=BDB．OD=CDC．∠CAD=∠CBDD．∠OCA=∠OCB二、填空题7．计算：|﹣2|+2=．8．方程=2的解是．9．如果分式有意义，那么x的取值范围是．10．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．11．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y=x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是℉．12．如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是．13．某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是．14．已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表：年龄（岁）1112131415人数55161512那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是岁．15．如图，已知在△ABC中，D，E分别是边AB、边AC的中点，=，=，那么向量用向量，表示为．16．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=°．17．在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于．（只需写出一个符合要求的数）18．已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于．三、解答题19．（10分）先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．20．（10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．21．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图像经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数y=的图像也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图像上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC=AB．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB的表达式．22．（10分）如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：≈1.7）23．（12分）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE.（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）当tan∠ODC=时，求∠PAD的正弦值．25．（14分）已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=，设OP=x，△CPF的面积为y．（1）求证：AP=OQ.（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域.（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．2015年上海市中考数学试卷参考答案与解析一、1．D解析：是无理数，A不符合；是无理数，B不符合；π是无理数，C不符合；0是有理数，D符合．故选D．点评：此题主要考查了无理数和有理数的区别，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．2．A解析：A．a0=1（a＞0），故此选项正确；B．a﹣1=，故此选项错误；C．（﹣a）2=a2，故此选项错误；D．a=（a＞0），故此选项错误．故选A．点评：此题主要考查了零指数幂的性质、负整数指数幂的性质和分数指数幂的性质等知识，正确把握相关性质是解题的关键．3．C解析：A．y是x的二次函数，故此选项错误；B．y是x的反比例函数，故此选项错误；C．y是x的正比例函数，故此选项正确；D．y是x的一次函数，故此选项错误．故选C．点评：此题考查了正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫作x的正比例函数．4．B解析：这个多边形的边数是360÷72=5．故选B．点评：此题考查的是正多边形的中心角的有关计算，掌握正多边形的中心角的和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．5．C解析：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差．故选C．点评：此题考查了标准差的意义，波动越大，标准差越大，数据越不稳定，反之也成立．6．B解析：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD=DB．若DO=CD，则AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，故四边形OACB为菱形．故选B．二、7．4解析：原式=2+2=4．点评：此题考查了有理数的加法以及绝对值的求法，负数的绝对值等于它的相反数．8．x=2解析：∵=2，∴3x﹣2=4，∴x=2．当x=2时，左边=，右边=2．∵左边=右边，∴方程=2的解是x=2．点评：此题主要考查了无理方程的求解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．（2）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．9．x≠﹣3解析：由题意，得x+3≠0，即x≠﹣3．点评：此题考查的是分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．10．m＜﹣4解析：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，∴△=16﹣4（﹣m）＜0，∴m＜﹣4．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．11．77解析：当x=25时，y=×25+32=77．12．y=x2+2x+3解析：设平移后的抛物线的解析式为y=x2+2x﹣1+b．把A（0，3）的坐标代入上式，得3=﹣1+b，解得b=4．则该函数的解析式为y=x2+2x+3．点评：此题主要考查了函数图像的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．13．解析：∵学生会将从这50位同学中随机抽取7位，∴小杰被抽到参加首次活动的概率是．点评：此题考查了概率公式的应用：概率=所求情况数与总情况数之比．14．14解析：从小到大排列此数据，第27名成员的年龄是14岁，所以这个小组成员年龄的中位数是14岁．点评：此题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．15．﹣解析：∵=，=，∴=﹣=﹣．∵在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，∴==（﹣）=﹣．点评：此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质．注意掌握三角形法则的应用．16．22.5解析：如图．在Rt△AEF和Rt△ADF中，，∴Rt△AEF≌Rt△ADF，∴∠DAF=∠EAF．∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°，∴∠FAD=22.5°．点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求证Rt△AEF≌Rt△ADF是解此题的关键．17．14（答案不唯一）解析：∵在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13．∵点A在⊙B上，∴⊙B的半径为5．如果⊙D与⊙B相交，那么⊙D的半径R满足8＜R＜18．∵点B在⊙D内，∴R＞13，∴13＜R＜18，∴14符合要求．点评：此题考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系，解题的关键是首先确定⊙B的半径，然后确定⊙D的半径的取值范围，难度不大．18．4﹣4解析：作CH⊥AE于点H，如图．∵AB=AC=8，∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣30°）=75°．∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，∴AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°．∵∠ACB=∠CAD+∠E，∴∠E=75°﹣30°=45°．在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，∴CH=AC=4，AH=CH=4，∴DH=AD﹣AH=8﹣4．在Rt△CEH中，∵∠E=45°，∴EH=CH=4，∴DE=EH﹣DH=4﹣（8﹣4）=4﹣4．点评：此题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质．三、19．解：原式=•﹣=﹣=．当x=﹣1时，原式==﹣1．点评：此题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．解：．解不等式①，得x＞﹣3．解不等式②，得x≤2．∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2．在数轴上表示不等式组的解集为：．点评：此题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．21．解：∵正比例函数y=x的图像经过点A，点A的纵坐标为4，∴点A的坐标为（3，4）．∵反比例函数y=的图像经过点A，∴m=12．∴反比例函数的解析式为y=．（2）如图，连接AC，AB，作AD⊥BC于点D．∵AC=AB，AD⊥BC，∴BC=2CD=6，∴点B的坐标为（6，2）．设直线AB的表达式为y=kx+b．由题意，得，解得．∴直线AB的解析式为y=﹣x+6．点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和一次函数与反比例函数的交点的求法，注意数形结合思想在解题中的应用．22．解：（1）如图，连接PA．由题意知，AP=39米．在直角三角形APH中，PH===36（米）．（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．在Rt△ADH中，DH=AH•cot30°=15（米）．在Rt△CDQ中，DQ===78（米）．则PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+78﹣15≈114﹣15×1.7=88.5≈89（米）．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．点评：此题考查了解直角三角形的应用、勾股定理的应用．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．23．证明：（1）∵四边形ABCD是平行