第3章刚体力学基础(完全版)

1第3章DynamicsofRigidBody(6)刚体力学基础2本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴转动。核心内容：这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。•刚体的转动惯量-质点平动的惯性质量对应•定轴转动的转动定理-力矩的瞬时效应-平动中力的瞬时效应•定轴转动的角动量定理及其守恒-力矩的时间积累效应-平动中力的时间积累效应•定轴转动的功能原理-力矩的空间积累效应-平动中力的空间积累效应3刚体——力学中物体的一种理想模型。刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就将物体视为刚体。(b)刚体有确定的形状和大小。(c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。(a)刚体上各质点之间的距离保持不变。无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形状都始终保持不变。刚体的特征：4§3-1.1刚体运动学一.刚体的平动和转动如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间的指向始终保持平行,这样的运动就称为平动。在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。5刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般运动可看作是平动和转动的结合。如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴)作圆周运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动的,就称为定轴转动。刚体在作定轴转动时,由于各质点到转轴的距离不同,所以各质点的线速度、加速度一般是不同的。r但由于各质点的相对位置保持不变,所以描述各质点运动的角量,如角位移、角速度和角加速度都是一样的。二.定轴转动的描述6r1描述定轴转动刚体的运动的角量•角坐标：角位移：单位：rad•角速度ttlim0dtd.是矢量方向：与转向成右手螺旋关系。7•角加速度ttω0lim角加速度为角速度对时间t的一次导数，或为角坐标对时间t的二次导数。单位：弧度/秒2，rad/s2,s-2方向：角速度变化的方向。dtdω22dtdθ008xo对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？2线量与角量之间的关系ddsr刚体转过d刚体上的一点位移dsrdds•线位移和角位移的关系9o•速度与角速度之间的关系dtdrdtds•加速度与角加速度之间的关系rrtanaa将质点的加速度可分解为切向加速度和法向加速度.将dtrdds式两边同除ra10dtdaran2dtdaran2由dtdrrrr2)(2roranaato221tto-222o•若角加速度β=c(恒量)，则有11一.刚体的角动量(质点系的角动量)刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。§3-1.1.2刚体的定轴转动ZLmiirio式中:I=Δmiri2称为刚体对z轴的转动惯量。Li=Δmiiri=Δmiri2设刚体以角速度绕固定轴z转动(见图),质量为Δmi的质点对o点的角动量为=I刚体对z轴的角动量就是Lz=(Δmiri2)12问题：为何动量的概念对刚体的转动已失去意义？P=0ZLmiirio刚体对z轴的角动量：Lz=I显然，刚体的角动量的方向与角速度的方向相同，沿z轴方向(见图),故也称为刚体对固定轴z的角动量。IL13质量m—物体平动惯性大小的量度。动量:p=m转动惯量的物理意义I=Δmiri2称为刚体对z轴的转动惯量。ZLmiirio转动惯量I—物体转动惯性大小的量度。角动量:L=I14证明：刚体质点系的一对内力的力矩之和为零。irjrijrijfjifijijiijfrMjijfrijjifrr-)(ijijfr0质点系中的一对内力的力矩之和为零。质点系内力的力矩之和为零。15证明：刚体质点系的一对内力做功之和为零。irjrijrijfjifjjiiijrdfrdfdA)ff(jiij-)rdrd(fjiij-ijijrdf)rr(dfjiij-0ijrd0dA16二.刚体定轴转动定理按质点角动量定理式，有)ji(jijf设有一质点系,第i个质点的位矢为ri,外力为Fi,内力为,dt)mr(dfrFriii)ji(jijiiimi：对各质点求和，并注意到0)fr()ji(jijii)mr(dtdFriiiiiii得17)mr(dtdFriiiiiiiiiiFr=M质点系所受的合外力矩)mr(iiii=L质点系的总角动量于是得dtLdM式的意义是:质点系所受的合外力矩等于质点系的总角动量对时间的变化率。这个结论叫质点系角动量定理。显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。18对定轴转动的刚体,I为常量,d/dt=β,故式又可写成上式是一矢量式,它沿通过定点的固定轴z方向上的分量式为这就是刚体定轴转动定理，它是刚体定轴转动的动力学方程。M=IβdtLdMdtdLMzzdtId)((Lz=I)上式称为物体定轴转动方程。19IM式子表明,刚体所受的合外力矩等于刚体的转动惯量与刚体角加速度的乘积。恒与方向相同.M物理意义:1受合外力矩作用,刚体转动状态将发生改变，产生角加速度。当刚体的一定时，IM202当一定时，MI1IM注意：1改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是力矩，而不是力！I是刚体转动惯性大小的量度。I表征刚体保持其原有转动状态的能力。I是刚体的固有属性，与刚体处于什么状态无关．21IM2为瞬间作用规律。IM一旦，立刻，匀角速度转动。0M03和，均对同一转轴而言。MIM4代表作用于刚体的合外力矩，外MM特别强调：系统所受合外力为零，不一定外M0一对力偶产生的力矩不为零。以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转动定律及用隔离体法求解(刚体+质点)系统问题的方法。22质量m—物体平动惯性大小的量度。转动惯量I—物体转动惯性大小的量度。§3-1.2转动惯量动量:p=m角动量:L=I一.转动惯量的物理意义23I=Δmiri2即：质点体系的转动惯量等于各质点的质量乘以它到转轴距离的平方的总和。dmrI2式中:r为刚体上的质元dm到转轴的距离。(1)质量离散分布质点体系二.转动惯量的计算(2)质量连续分布刚体24三.平行轴定理Io=Ic+Md2Ic通过刚体质心的轴的转动惯量;M刚体系统的总质量;d两平行轴(o,c)间的距离。IoIcdCMo25平行轴定理的证明'irdrri'i-2'iiirmI'iiirm'ir)dr()dr(miiii--2Md2iiirmiiirmd-2CiiirMrm0Cr2MdIIC2MdICimirdoMC26o通过o点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为(1)正三角形的各顶点处有一质点m，用质量不计的细杆连接,如图。系统对通过质心C且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为)33(lr,ml2cI2mr3=ml2+(3m)r2=2ml2例题质量离散分布刚体:I=Δmiri2lll·crmmm刚体的转动惯量不仅依赖于质量的大小，而且还依赖于质量到转轴的空间分布。+ml2=2ml2ml2IO=27(2)用质量不计的细杆连接的五个质点,如图所示。转轴垂直于质点所在平面且通过o点,转动惯量为IO=m.02=30ml2+2m(2l2)+3m(2l)2+4ml2+5m(2l2)om2m3m4m5mllll28dmrI2(1)质量为m、长度为l的细直棒，可绕通过质心C且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。例题质量连续分布刚体:-22llcIdxlm2x记住！2121ml若棒绕一端o转动，由平行轴定理，则转动惯量为2121mlIoCdxdmxxo解方法：将细棒分为若干微元dm=(m/l)dx,然后积分得o231mlm22)l(29R(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转动时，可将圆盘划分为若干个半径r、宽dr的圆环积分：(2)均质细圆环(m,R)绕中心轴转动时，其转动惯量为dmrdrR0cI2r2Rmrdr2221mR2mRdmRIc环230解由M=Iβ,=o+βt有外力矩时,例题以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到100rev/min。此时撤去该力矩,转轮经100s而停止。试推算此转轮对该轴的转动惯量。撤去外力矩时,-Mr=Iβ2,β2=-/t2(2)20=J1，1=/t1(因o=0)20-Mr=Iβ1，β1=/t1(因o=0)(1)代入t1=10s,t2=100s,=(100×2)/60=10.5rad/s,解式(1)、(2)得I=17.3kg.m2。31解对柱体,由转动定律M=Iβ有mg.R=Iβ这式子对吗？例题质量为M、半径为R的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。mgTmMR对m:mg-T=ma错！此时绳中张力Tmg。隔离体法+转动定理。解得β=2mg/[(2m+M)R],T=Mmg/(2m+M)。对柱：TR=Iβ关联方程：a=Rβ32求解联立方程，代入数据，可得=2m/s,T1=48N,T2=58N。m1:T1R=m1R2β12121m2:T2r-T1r=m2r2β2例题两匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，质量m1=24kg，m2=5kg。一轻绳缠绕于盘m1上，另一端通过盘m2后挂有m=10kg的物体。求物体m由静止开始下落h=0.5m时，物体m的速度及绳中的张力。解各物体受力情况如图所示。T1T1m1Rβ1m2β2rT2mgmm:mg-T2=maa=Rβ1=rβ2,2=2ah33小结:若一个系统的运动包含物体平动和刚体的转动处理办法：对平动的物体，分析受力，按照列方程。amF对转动的刚体，分析力矩，按照列方程。IM补加转动与平动的关联方程联立求解各方程。34例题一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可绕一水平光滑轴o在竖直平面内转动，Ao=l/3。今使棒从水平位置由静止开始转动，求棒转过角时的角加速度和角速度。CmgABocos6l解细棒AB受的重力可集中在质心，故重力的力矩为632llloc-mgMocos23lgooIM222-ooI2)6(lm291ml2121ml35dlgdcos2300完成积分得lgsin3讨论:(1)当=0时，β=3g/2l，=0；(2)当=90°时，β=0，lg3cos23lgIMoodtd又因dtdddddcos23lgdtdCmgABo36例题匀质圆盘：质量m、半径R，以o的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数为µ，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？mgR32-221mRI解将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的圆环，用积分计算出摩擦力矩。R0MrdrRm22gr-o水平桌面rdr37RgIM34-于是得由=o+βt=0得gRtOo43-又由2-o2=2β，所以停下来前转过的圈数为gRNoo1632222-221mRI,mgR32-Mo水平桌面rdr38§3-2定轴转动的角动量守恒定律dtIddtdLM)(11222