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1“直线与平面垂直的定义与判定”教学设计一、教材内容解析：本课是人教版A版高中数学必修2中的第二章《点、线、平面之间的位置关系》中第三节《直线、平面垂直的判定及其性质》的第一课时，直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情形，它是空间中两条同一平面或异面直线垂直关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中直线与直线、平面与平面垂直位置关系间转化的重点，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心内容之一。定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，那么我们就说直线l与平面互相垂直。直线与平面垂直可转化为该直线与平面内“任意一条直线”、“无数条直线”都垂直。对于这一个命题，利用几何画板模拟演示旗杆所在的直线与旗杆的影子垂直进行说明，针对学生在生活的体验，进行对定义总结概括。判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。在定义的基础上平面内“无数条直线”转化为平面内“相交的两条直线”，隐含着数学“转化”思想。对于这一个难点，学生通过实验研究：过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕，而教师通过几何画板模拟演示，固定一边BD，让另一边DC移动，归纳概括出判定定理。二、教学目标设置：教学重点：理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理以及其应用。教学难点：通过实验研究观察抽象概括出直线与平面垂直的定义及判定定理。三、教学策略分析：采用“问题导学”教学法，提出具有“关联性”的问题激发学生的学习热情，引导学生自我探索新知，总结提炼探索结果.“问题导学”教学发新授课教学模式，将教学过程结构分为“五个环节、三步骤”，“五个环节”是指：新课引入--概念形成--概念深化--应用探索--总结归纳.“三步骤”是指：问题（启疑）--猜想（导思）--结论（发现）.本节课就是以“问题导学”新授课的教学结构为设计框架，以问题串连接知识点的形成过程。四、教学过程设计2Pl（一）新课引入在前面已经学习过直线与平面的位置关系（直线在平面内、直线与平面平行），接下来我们来研究直线与平面相交位置关系。问题1.请同学们说说在日常生活中具有直线与平面相交的例子，在这些直线与平面相交的例子当中，你认为哪一种情形最特殊？[师生互动]:先由学生举出生活中的例子，通过比较，引导学生“直线与平面垂直”是直线与平面相交的特殊情形，根据学生的举例的情况，适当补充课本的例子，如旗杆与地面、桥柱与水面的位置关系。[设计意图]:让学生感受到数学源于生活，又高于生活，更重要是，让学生感受到生活当中存在“直选与平面垂直的情形”，从此引出课题。（二）概念形成问题2.在以下空间几何体直观图中，你认为哪些直线与平面垂直的？[师生互动]:学生自己看几何模型，说出哪一条边与哪一个平面垂直，老师尽可能让学生全部找出来。[设计意图]:让学生在已有的几何体中，感受直线与平面垂直的位置关系，为后面的学习做好铺垫。问题3.请同学们画出直线与平面垂直的直观图，你认为标准是什么？[师生互动]:学生画图，并且让学生说说自己的想法，为什么这样画？标准是什么？最后，概括画法：通常把直线l画成与平面的平行四边形一边垂直。[设计意图]:给出直观图的画法，为概括直选与平面垂直的定义以及定理埋下伏笔。3问题4.在前面已经研究直线与平面平行的情形，你能说说研究的思路码？问题5.类比直线与平面平行的思路，如何研究一条直线与平面垂直呢？[师生互动]:由学生回忆前面所学“直线与平面平行的研究思路”，会涉及到该直线与平面内一条直线平行；就转化为该直线与平面内直线的位置关系问题。[设计意图]:要研究直线与平面平行，只需要转化成直线与平面内的直线位置关系--平行。体现数学中的“转化”思想，从而启发学生，研究直线与平面垂直的方法，因此引出问题6.问题6.如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它所在地面的影子BC的位置关系是怎么样的？追问1：如图2，随着太阳的移动，它们的位置关系会发生改变码？追问2：如图3，直线AB与地面上任意一条直线不是影子（不过旗杆底部B）的直线''BC的位置关系又是怎样的？为什么？问题7.通过问题6，追问1，追问2，你由此得到什么结论？[师生活动]:老师以提问的方式，让学生回答第一个问题，这时教师再利用多媒体、几何画板模拟演示旗杆再地面上的影子移动过程，让学生观察，思考与讨论，总结归纳出“直线与平面垂直，那么直线与平面任何一条直线都垂直”。[设计意图]:培养学生观察、分析、总结归纳的能力，并且等到学生总结结论之后，又可以引出问题8.问题8.若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么你可以断定该直线与平面垂直吗？[师生活动]：教师可以引导学生用反证法求证，引导学生举出例子，如当直线与平面不垂直时，那么直线4就与平面内某一条直线不垂直，与条件矛盾。从而得到肯定的答案，正如图4情形。[设计意图]:教会学生用“反证法”来判定命题真假情况，又可以引出问题9，两全其美。问题9.能否给直线与平面垂直下一个定义？[师生活动]：学生归纳，定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，那么我们就说直线l与平面互相垂直，记l。教师在黑板板书定义，并且画出图（如图5所示），并且引出相关概念，直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，直线与平面垂直时，它们的唯一的公共点P叫做垂足。（三）概念深化概念辨析1：命题“如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直”是否正确？能否举例说明？[设计意图]：让学生理解定义中的“任意一条”、“所有”、“无限”与“无数”之间的区别。也为学习判定定理中“平面内两条直线相交”该条件不能忽略做好铺垫。从而引出问题10.问题10.如图6，标准的跨栏、其支架必须竖直立于地面（即支架所在的直线与地面所在的平面垂直），根据定义，你能否进行检验？为什么？[师生活动]：让学生先用定义解决问题，操作起来比较困难，再讨论平面内无限条直线，能否减少到多少才合适，这时学生会意识到减少到一条或平行两条条，肯定不行，因为前面以及回答这一个问题，教师可以引导学生“能否从平面两条相交的直线”入手。[设计意图]：让学生用已有的知识，解决该问题，操作起来比较困难，因此让学生明白学习判定定理的必要性，从而引出了实验探究的环节。5实验研究：请同学们拿出已经准备好的一块三角板的纸片，一起来做一个实验：过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕，将翻后的纸片竖起放置在桌面（,BDDC与桌面接触）.问题11.折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使得折痕AD与桌面所在平面垂直？[师生互动]：尽可能让学生多折痕几次，观察、分析、归纳：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在的平面垂直.问题12.有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面上的一条直线垂直，就可以判定AD垂直平面，你同意他的说法吗？为什么？[设计意图]：让学生紧扣直线与平面垂直的定义，深刻加深对定义的理解。问题13.由折痕AD，翻折之后垂直关系不变，即,ADCDADBD.由此你能得到什么结论？能否利用定义解释这一结论？[设计意图]：紧扣定义，让学生感受平面无限条直线转化为平面两条相交直线，从而体验操作性的简便.更让学生体会“转化思想”。问题14.根据上面的实验，结合两条相交直线唯一确定一个平面的原理，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？能否用图形表示？能否用数学符合语言表达？[师生互动]：学生归纳，判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。图形表示：符号语言表示：,,,mnmnollmln教师板书学生归纳的判定定理，图形、符号语言。为了加深概念的理解，教师又可以引出了“概念辨析2”。6[设计意图]：让学生自己归纳直线与平面垂直的判定定理，图形以及数学符合语言表示.更加让学生体会“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的思想，概念辨析2：“如果一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，那么这条直线垂直于平行四边形所在的平面”是否正确？为什么？[设计意图]：让学生理解判定定理中的两条“相交”直线的条件不可忽略。（四）应用探索例1.在正方体ABCDABCD中，下列结论是否正确，为什么？（1）BCDCCD（2）BDADDA（3）ADCD[师生互动]：学生思考作答，并且说出考点，教师适当补充。[设计意图]：让学生画出正方体，利用所学知识解决直线与平面垂直的有关问题，体会转化思想在解决问题中的作用。根据直线与平面垂直的定义以及定理作答，考察学生对知识的掌握情况。例2.已知//ab，a求证：b随堂练习：在三棱锥VABC中，VAVC，ABBC求证：VBAC[师生互动]：学生板演，师生共同评析过程。[设计意图]：考察学生证明题的书写规范性；进一步领会解决问题的策略，合理选择辅助线，合理的选择过直线的辅助平面，体会转化思想在解决问题中的重要作用。（五）总结归纳1、通过本节课的学习，你学会了哪些知识？2、判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？3、通过本节课的学习，直线与平面垂直的知识，你认为题型有哪些？4、针对以上总结，你能否画出知识导航图（框图）总结归纳。[师生互动]：学生总结，师生适当补充。[设计意图]：总结性1、2、3点主要针对是学生对本节课内容学习的回顾，而总结4，则是针对学生通过本节课能否纳入自己已有的认知结构，产生新的知识结构，以便使得学习的知识系统化，清晰化。7（六）作业检测：1.点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PAPC，PBPD求证：ABCDPO平面2.课本66P探究题：直四棱柱ABCDABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件，ACBD？[设计意图]：通过训练，巩固本节课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力。其中第1题主要是运用直线与平面垂直的判定定理，第2题是活用直线与平面垂直的定义与判定定理，更主要是开拓思维能力的一道题；注重考察转化的数学思想。（七）板书设计多媒体课件PPT播放课题：直线与平面垂直的定义与判定定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么我们就说直线与平面互相垂直，记判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言表示：例2学生板演过程随堂练习学生板演过程布置作业