线性代数—逆矩阵

1第二节2,111aaaa则矩阵称为A的逆矩阵.1A在数的运算中，当数时，0a有其中为a的倒数，aa11（或称a的逆）；单位阵E类似于1在数的乘法运算中的地位.那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵,1A,11EAAAA使得对方阵,有AE=EA=A,3定义,EBAAB.1A例设,21212121,1111BA,EBAAB.的一个逆矩阵是AB设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵，使得则称A为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵，记为说明(1)只有方阵才可能可逆;(2)逆阵若存在,则必唯一.证设B和C都是A的可逆矩阵，则BBCA)()(ABCCEEB.C4EBAAB问题:(1)什么条件下A才可逆?(2)如果可逆,如何求?1A若A可逆,,EAB两边取行列式,,1EBAAB.0A若,0A则称A是非奇异的(或非退化的);否则称A为奇异的(或退化的)。0A是A可逆的必要条件.下面说明这个条件也是充分的.5定义nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性质.EAAAAA证明为A的伴随矩阵.设n阶方阵nnijaA)(，ijA为A中元素ija的代数余子式,称矩阵回忆行列式按行展开公式:.,0,,2211kikiAAaAaAainknikik6nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211OAAAO,EA类似有,.EAAA7矩阵A是可逆的充分必要条件是A非奇异。当A可逆时，有定理.11AAA证充分性:,EAAAAA由,0A若.)1()1(EAAAAAA则推论.),(1ABEBAEAB则或若,1EBA,0A故,1存在因而A于是EBBBAA)(1)(1ABA证EA1.1A8求方阵的逆矩阵.331212321A例1逆矩阵的求法解.A可逆所以11A12A,33321,431223413A,53112A5331212321A32101434,00340109A331212321A,1,0,3232221AAA.3,4,1333231AAA同理可求得103543341.31540413341AAA11对于3阶以上的矩阵，用伴随矩阵法求逆矩阵很麻烦，以后将给出另一种求法--初等变换法。10例2，设dcbaA，则bcadA故A可逆的充分必要条件是,0bcad且bcadA11例如，141511154.1154.dcba11例3对角阵),,,(diag21naaaA可逆的充分必要条件是,),,1(0niai且.11211121nnaaaaaaOOOO例如，1321.3/12/1112例4.112510324123011111123011111)2(X;412341511X解矩阵方程解41231154.642817412341511X(1)方程两端左乘矩阵,4151113251121131112510324251121131.47120212152930751311123011111112510324123011111X.112510324123011111123011111)2(X14例5解,61BAABAA设，其中714121Aoo.B求,61ABABAA,6)(1ABAEA,6)(1EBEA11)(6EAB1100010001700040002616000300016610003100016.10002000615.,2,:,022并求它们的逆矩阵都可逆证明满足方程设方阵EAAEAAA例6,022EAA由,2)(EEAA得,)(21EEAA,可逆故A.)(211EAA且022EAA又由,04)3()2(EEAEA,)]3(41[)2(EEAEA,2可逆故EA.)3(41)2(1EAEA且证16逆矩阵的运算性质.)(,,)1(111AAAA且亦可逆则可逆若且可逆则数可逆若,,0,)2(AA且亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,)3(ABBA.1)(11AA1)(B11ABA)()(11ABAB1AEA.1EAA证11)(ABBA.)(1212AA推广1AmA1mA11A.)()(,,)4(AAAAT且亦可逆则可逆若TT11TTAA)(1TE.E证TAA)(117.,)5(11AAA则有可逆若,1EAA,11AA.AA11因此注意A，B可逆，A+B不一定可逆，即使可逆，一般.)(111BABA可逆阵A若对称(反对称)，则也对称(反对称).1ATA)(11)(TA,1A对称;TA)(11)(TA1)(A反对称.,1A设CBA,,为同阶方阵，ACAB。若A可逆，则CB。对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立。证18线性方程组.,,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa写成矩阵形式,bAx其中,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA,21nxxxx,21mbbbb,0A若,1bAx则此即克莱姆法则。19例7证若n阶矩阵A可逆，证明1nAA。在EAAA两边取行列式得,nAAA因为A可逆，故0A。所以.1nAA20例8证若A可逆，试证A也可逆，且AAA1)(1。由EAAA，因为A可逆，故0A。,)1(EAAA.1)(1AAA即A也可逆，且21例9解设A为3阶方阵，且,21A求行列式*12)3(AA的值。(其中A为A的伴随矩阵）1*AAAAA2)3(1,211A1131AA132A2278.27161278A22练习：P69习题二补充题若方阵A与B可交换,且A可逆,则1A与B也可交换.23补充题若方阵A与B可交换,且A可逆,则1A与B也可交换.证,BAAB,1BAAB,11BABA即1A与B也可交换.