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1．平面：平面是一个不加定义、只需理解的最基本的原始概念．2．对公理的理解(1)对公理1的作用：公理1既可判定直线是否在平面内、点是否在平面内，又可用直线检验平面．(2)公理2的作用：一是确定平面，二可用其证明点、线共面问题．P41P42(3)公理3的作用：其一它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；其二它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上．公理3的三个推论：推论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面．P42(4)对公理4的剖析：公理4的内容反映了空间三条直线的平行关系，表明空间平行于一条已知直线的所有直线都平行．公理4的表述性质通常叫做平行线的传递性．其作用是：判断两条直线平行的依据．P453．空间直线与直线的三种位置关系：(1)相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点．(2)平行直线——同一平面内，没有公共点．(3)异面直线——不同在任何一个平面，没有公共点．4．空间直线与平面的三种位置关系(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点．直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．5．平面与平面的两种位置关系(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线．1．凡是证明问题中出现“有且只有”或“确定”这样的词语，证明问题一定都分两步：一是证明存在性，二是证明唯一性．2．证明两条直线是异面直线，用反证法往往比较简单．3．要判断一个说法是错误的，只须举出一个反例，要想说明一个说法是正确的，一般须理论上的说明．证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．先将“文字语言”转化为“数学语言”和“图形语言”再用公理3证明第三条直线在由第一和第二条直线所确定的平面内即可．已知如图l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．直线共面的证明【证法一】(同一法)∵l1∩l2＝A，l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.，∴直线l1、l2、l3在同一平面内．【证法二】(重合法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．【名师点睛】(1)用符号语言表示文字语言时，通常按语句的顺序，分别用符号表示出来，此时要注意各种符号适用的范围．画图时，可以先画平面，再画直线，再画点．(2)同一法证明直线共面的步骤：①证明其中两条直线平行或相交，即这两直线确定一个平面α；②证明其余直线上均有两点也在平面α内，即其余直线也在平面α内．也就是证明了这些直线共面．(3)重合法证明直线共面的步骤：①证明这些直线确定若干个平面；②利用公理3及其推论证明这引起平面重合．从而证明了这些直线共面．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，∴AB，CD必定相交于一点．如图，设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，且M∈β，∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点1．如图，已知平面α、β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E、F、G、H四点共面；(2)m、n满足什么条件时，EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明EG＝FH.【思路分析】要证明E、F、G、H四点共面，即要证明EH∥FG就可以，要证明EH∥FG可用公理4；(2)求EFGH是平行四边形时，m、n满足的条件即可．(3)证明EFGH为矩形即得结论．与空间四边形有关的问题故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．(3)当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，∴EF∥AC.又∵AC⊥BD，∴∠FEH是AC与BD所成的角，∴∠FEH＝90°，从而EFGH为矩形．∴EG＝FH.【名师点睛】空间四边形是立体几何的一个基本图形，它各边中点连线构成平行四边形；当两对角线相等时该平行四边形为矩形；当两对角线互相垂直时，该平行四边形为菱形；当两对角线相等且互相垂直时，该平行四边形为正方形．【解析】(1)∵AE∶EB＝AH∶HD，∴EH∥BD.∵CF∶FB＝CG∶GD，∴FG∥BD.∴EH∥FG.∴E、F、G、H四点共面．(2)当且仅当EH綊FG时，四边形EFGH为平行四边形．∵EHBD＝AEAE＋EB＝mm＋1，∴EH＝mm＋1BD.同理FG＝nn＋1BD.由EH＝FG得m＝n.故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．(3)当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，∴EF∥AC.又∵AC⊥BD，∴∠FEH是AC与BD所成的角，∴∠FEH＝90°，从而EFGH为矩形．∴EG＝FH.【名师点睛】空间四边形是立体几何的一个基本图形，它各边中点连线构成平行四边形；当两对角线相等时该平行四边形为矩形；当两对角线互相垂直时，该平行四边形为菱形；当两对角线相等且互相垂直时，该平行四边形为正方形．2．(2011高考练兵)已知空间四边形ABCD的对角线AC、BD，点E、F、G、H、M、N分别是AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点．求证：三线段EG、FH、MN交于一点且被该点平分．证明：如图所示，连结EF、FG、GH、HE.∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF∥HG，同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．设EG∩FH＝O，则O平分EG、FH.同理，四边形MFNH是平行四边形，设MN∩FH＝O′，则O′平分MN、FH.∵点O、O′都平分线段FH，∴点O与点O′重合，∴MN过EG和FH的交点，即三线段EG、FH、MN交于一点且被该点平分．(福建卷)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】连接A1B、BC1、A1C1，则A1B＝BC1＝A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于60°，选B.异面直线所成的角【名师点睛】(1)求两异面直线夹角的步骤：①作出两异面直线的夹角；②简单证明所作角符合定义；③把所作角放入三角形中，计算得大小，称为“一作二证三计算”，这种求法叫做几何法．(2)在正方体中，求两异面直线所成的角时，常选择顶点作平行线；求两异面直线的距离时，在已知图先找到公垂线段．在《高考说明》中明确指出：对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线的两异面直线间距离．这就是说在高考中不要求会作异面直线的公垂线．对于这一点一定要明确，否则加重学习负担，造成不必要的学习浪费．3．（2012广州四校联考）如图所示，已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为（）A．34B．54C．74D．34答案:D解析：连结A1D，AD，易知1AAB为异面直线AB与1CC所成的角,则113coscoscos4AABAADDAB，故选D；如图，设BC的中点为H，连EH，又E是AB的中点，∴EH∥AC，∴∠FEH是异面直线EF和AC所成的角．连结边AF、BF、FH，则EH＝a2，FH＝a2，AF＝BF＝32a.阶段复习课第二章请你根据下面的体系图快速回顾本章内容,把各序号代表的含义填到对应的横线上,并构建出清晰的知识网络.【答案速填】①确定平面的条件;②异面直线;③直线在平面内;④直线与平面平行的判定定理;⑤直线与平面平行的性质定理;⑥平面与平面平行的判定定理;⑦若α∥β,l⊂α,则l∥β;⑧直线与平面垂直的判定定理;⑨直线与平面垂直的定义;⑩若l⊥α,l⊥β,则α∥β;⑪平面与平面垂直的判定定理;⑫平面与平面垂直的性质定理;⑬直线与平面垂直的性质定理;⑭二面角.题型一空间线线、线面、面面的位置关系【典例1】(2013·绍兴高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是()A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行【解析】选D.取CC1的中点P,易证CC1⊥平面PMN,故MN⊥CC1,分别取BC,DC的中点,易证MN∥BD,MN⊥AC,又因为BD不平行于A1B1,故D错误.【典例2】设l,m,n表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,给出下列四个结论：①若l⊥α,m⊥α,则l∥m;②若m⊂β,n是l在β内的射影,m⊥l,则m⊥n;③若m⊂α,m∥n,则n∥α;④若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β.其中正确的为()A.①②B.①②③C.①②③④D.③④【解析】选A.①正确,②可用线面垂直证明,正确,③中,n可能在α内;④中,可能有α,β相交或平行,故选A.【技法点拨】判定空间线线、线面、面面的位置关系的注意点(1)空间线线、线面、面面的位置关系的认识和判定是学习立体几何的基础,要在空间几何体和空间图形中理解、表述位置关系,发展空间想象能力.(2)空间位置关系的判定要紧扣定义,正确把握其内涵,判断中可以结合实例或者转化到我们熟悉的长方体、正方体模型中进行观察.题型二共点、共线、共面问题【典例3】如图,若△ABC所在的平面和△A1B1C1所在平面相交,并且直线AA1,BB1,CC1相交于一点O,求证：(1)AB和A1B1,BC和B1C1,AC和A1C1分别在同一平面内.(2)如果AB和A1B1,BC和B1C1,AC和A1C1分别相交,那么交点在同一直线上.【证明】(1)因为AA1∩BB1=O,所以AA1,BB1确定平面ABO,因为A,A1,B,B1都在平面ABO内,所以AB⊂平面ABO,A1B1⊂平面ABO,即AB和A1B1在同一平面内.同理可证,BC和B1C1,AC和A1C1分别在同一平面内.(2)设AB∩A1B1=P,AC∩A1C1=R,所以平面ABC∩平面A1B1C1=PR.因为BC⊂平面ABC,B1C1⊂平面A1B1C1,且BC∩B1C1=Q,所以Q∈PR,即P,R,Q在同一直线上.【技法点拨】点共线、线共点、点或线共面问题的常用证明方法(1)证明点共线,常常采用的方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点,然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上;②证明多点共线问题时,通常是过其中两点作一直线,然后证明其他的点都在这条直线上.(2)证明空间的点、线共面问题,通常采用的方法：①根据已知条件先由其中部分点或直线确定一个平面,再证明其他点或直线也在这个平面内;②分别过某些点或直线作两个平面,证明这两个平面重合.(3)证明线共点,就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点.解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点,再证该点也在其他直线上.题型三直线、平面平行的问题【典例4】(2013·温州高一检测)如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,E是AC的中点.(1)求证：AB1∥平面BEC1.(2)求二面角E-BC1-C的正弦值.【解析】(1)连接B1C交BC1于点F,连接EF.在△AB1C中,因为E,F分别为AC,B1C的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊄平面BEC1,EF⊂平面BEC1,所以AB1∥平面BEC1.(2)因为E为AC的中点,所以BE⊥AC,从