窄带随机过程

窄带随机过程的定义解析信号与希尔伯特变换窄带随机过程的性质窄带高斯随机过程Z(t)的高斯分布余弦波加窄带高斯过程§6.1窄带随机过程的定义窄带系统---------很多无线电系统的通频带是比较窄的，它们远小于其中心频率，这种系统只允许输入信号靠近附近的频率分量通过，故称为窄带系统。其满足：000为高频载波。窄带随机过程------若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波ω0附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0∆ω时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z(t)。例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数0问题:对应于功率谱密度GZ(ω)的窄带随机过程Z(t)的表达式为何？即如何。)()(tZGz)(ωGZ0001.由可知:若Gz(ω)占的频带很窄，则│ZT(ω)│也一定占很窄的频带,即其系统函数具有与功率转移函数相似的形式2.由信号与线性系统可知：时域中的一个慢变化信号对一高频(ω0)信号调幅变换时,信号具有如图所示的频响特征。]|)(|lim[)(2TZEGTTz00)()],(cos[)()(tBtttBtZ窄带随机过程的时域表达(一):B(t))](cos[)(tttB0Z(t)的一个样本函数B(t)----窄带随机过程Z(t)的包络函数---慢变化Ф(t)----窄带随机过程Z(t)的相位函数----慢变化，B(t),Ф(t)都是随时间t慢变化的随机过程。表达式(二)：ttYttXtZ00sin)(cos)()(其中：)(sin)()()(cos)()(ttBtYttBtX)(/)()(tan,)()()(tXtYttYtXtB22由于与正交，故称X(t)-----Z(t)的同相分量，Y(t)-----Z(t)的正交分量。引入表达式2的目的是将Z(t)分解成两个相互正交的分量，以便于分别分析。t0cost0sin表达式1和表达式2两者间的几何关系：表达式1：表达式2：0)()],(cos[)()(0tBtttBtZttYttXtZ00sin)(cos)()()t()t(X)t(Y)t(B表达式1：表达式2：)],(cos[)()(0tttBtZ0)(tBttYttXtZ00sin)(cos)()()(sin)()()(cos)()(ttBtYttBtX)(/)()(tan,)()()(tXtYttYtXtB22问题的提出：平稳窄带过程B(t)与Ф(t)X(t)和Y(t)统计特性或功率谱密度如何确定呢？一般时域信号S(t))()()()(jIRdtetsStj)(S满足共轭对称性，即，)()(SS奇函数)()(偶函数),()(，IIRR奇函数)(偶函数)()()()()(arctan22)(，，SeIRe)S()S(RIjfj由此可知：时域实信号正、负频域的频谱可互求。§6.2解析信号与希尔伯特变换1．解析信号的引入---仅在正频域有值的复信号.从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余余的，所以只要保留正频域的频谱，记为，即可。)(S)(S时域复信号。Fourier变换问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?2．解析信号的构造对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为)(ˆ)()(tsjtstz其中，为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为，)t(h)t(s)t(sˆ)(ˆts即，)()()()(thtjststz变换F)()()(jHSZ1H()的设计要求：1．要满足使得Z()只有正频域频谱；2．要使z(t)信号与s(t)信号的总能量保持不变。)sgn(,,)(jfjfjH00tHFth11)()(。故此，dtsttsts)(11)()(ˆH[s(t)]，称为Hilbert变换。由此可得:ttsdtstsHts1*)(ˆ)(ˆ1)](ˆ[)(1dtstsHts)()]([)(ˆ1Hilbert变换与反变换:H()或h(t)称为Hilbert变换器。它不改变信号的幅频特性，只改变信号的相频特性。由此方法构造的复信号称为实信号s(t)的解析信号:jtstsA)()(H)(ts0,00),(2)(1)()(SjHSSA110)(Hf10|)(H|f0900900)(Hf全通滤波器90°相移器3．Hilbert变换的性质性质1.H[]=性质2若，则H[]性质3和x(t)的能量及平均功率相等，即)(ˆtx)(tx)()()(txthty)(ty)()(ˆ)(ˆ)(txthtxth)(ˆtxdttxdttx)()(ˆ22。TTTTTTdttxTdttxT)(21lim)(ˆ21lim22性质4.平稳随机过程X(t)和其对应的Hilbert变换)(ˆtX的自相关函数满足：)()(ˆXXRR性质5.平稳随机过程X(t)~的互相关函数满足：)(ˆtX),(ˆ)(),(ˆ)(ˆˆXXXXXXRRRR)()(ˆ00XXRR变换后平均功率不变)()();()(ˆˆˆˆXXXXXXXXRRRR又000)()(ˆˆXXXXRRX(t)~在同一时刻正交)(ˆtX为奇函数性质6.设具有有限带宽的信号a(t)的傅氏变换A(),假定，则有0tta0cos)(tta0sin)(tta0sin)(tta0cos)(H[]H[]即:幅度调制信号(窄带过程),仅对载波进行Hilbert变换.)(cos)()(ttBtX)(ˆ)(sin)()(tXttBtY§6.3窄带随机过程的性质的功率谱密度或统计特性)(ZG)(ZRttYttXtZ00sin)(cos)()(设:若Z(t)是任意的窄带、宽平稳、实随机过程，零均且功率谱密度满足：其他,,)(0000ZG0)(),(tYtX问题：若已知如何确定00则X(t)和Y(t)具有下列性质：性质1．X(t)和Y(t)各自宽平稳且联合宽平稳。性质2．0)]([)]([tYEtXE性质3．)]([)]([)]([222tZEtYEtXE性质4．00])cos[()(1)(dGRZX性质5．)()(YXRR性质6．00])sin[()(1)(dGRZXY性质7．)()(),()(YXYXYXXYRRRR性质8．0)0(,0)]()([)0(XYYXRtYtXER性质9．)]()([)(00ZZpXGGLG性质10．)()(YXGG性质11．)]()([)(00ZZpYXGGjLG性质12．),()(YXXYGG其中，Lp[·]为求等效低通运算。即，令ω0=0窄带随机过程性质的证明，p.165~168。窄带随机过程的性质的证明与讨论：1.均值(性质2)∵ttYEttXEtZE00sin)]([cos)]([)]([∴由0)]([tZE的条件，可知：0)]([)]([tYEtXE2.相关函数)]}(sin)()(cos)([]sin)(cos)({[),(0000ttYttXttYttXEttRZ)(sinsin),()(cossin),()(sincos),()(coscos),(00000000ttttRttttRttttRttttRYYXXYX由Z(t)的平稳性：可知，Z(t)的自相关函数应该与时间t无关，而仅与有关。即t可为任何值，而不影响。故，),(ttRZ(1)令t=0，可得：)1(sin)(cos)()(00XYXZRRR（2）令t=π/2ω0，可得：)2(sin)(cos)()(00YXYZRRR性质1.若Z(t)是宽平稳的,则X(t)与Y(t)也是宽平稳的。)(),(ZZRttR、以及、的性质：性质5.窄带随机过程的同相和正交分量的自相关函数相等。由上述关系式（2）-（1），可得)3(0sin)]()([cos)]()([00XYYXXYRRRR)()(YXRR性质7.同相和正交分量的互相关函数为奇函数。由式（3）同理可得：)()(YXXYRR由互相关函数性质：)()(YXXYRR)()(XYXYRR)(YR)(XR)(XYR)(YXR性质8.同时刻的X(t)与Y(t)正交同时刻互不相关。)(XYR和)(YXR为奇函数0)0()0(YXXYRR性质8’.零均窄带平稳随机过程Z(t)、X(t)、Y(t)的平均功率及方差相同。0)0()0()0(YXZRRR∵前面假设窄带平稳随机过程的均值为零，∴222YXZ即:X(t),Y(t),Z(t)的平均功率相同令ttZttZtYttZttZtXttYttXtZttYttXtZ00000000sin)(cos)()(sin)(cos)()(cos)(sin)()(sin)(cos)()(性质性质4证明:0000ˆ00ˆ00ˆ000000sin)(ˆcos)()(sincos)()(cossin)()(sinsin)()(coscos)()]}(sin)(ˆ)(cos)([]sin)(ˆcos)({[)(ZZZZZZZZXRRttRttRttRttRttZttZttZttZER0)()(0)()(000000)(41)(41sin)(ˆ21sin)(ˆdeeGdeeGdeGRjjZjjZjZZdeGdeGdeGRjZjZjZZ)()(0000)(41)(41cos)(21cos)(dGRZX)cos()(1cos)(00例6.6对于窄带平稳随机过程ttYttXtZ00sin)(cos)()(。若其均值为零，功率谱密度为其它,02,cos2,cos)(0000WWGz其中W,△，0都是正实常数。试求:1.Z(t)的平均功率；2.X(t)的功率谱密度；3.X(t),Y(t)的互相关函数；4.X(t),Y(t)是否正交？)(ZG00020202020W2202202cos2cos2)(21)0()1(00WdWdWdGRZZ解:2||,02||,cos22cos/)(112)(22WdeWGjX,其中2cos/)(112}))((cos))(({cos2])[cos(cos1]))[cos((1)(4()2(222222002020