双曲线中点弦-存在

第1页共4页双曲线中的中点弦一道课后作业题的教学所思绵阳南山中学青树国在双曲线的教学过程中,经常会遇到对中点弦所在直线的存在性的探究。题目有时解是存在的,有时虽然计算出来直线方程但经检验又必须舍去，而且有时检验的计算量又很大。这部分的技巧学生掌握起来难度较大,题目丢分现象比较普遍。在此我通过对课后习题的讲解和反思总结情况形成了一个猜想,用来判断双曲线弦的中点位置,能迅速帮助学生判断中点所在的位置是否合理,在此和大家一起分享与交流。一、课本习题再现普通高中课程标准实验教科书，数学选修2-1（人民教育出版社A版）第二章第三节课后习题B组第4题：已知双曲线1222yx,过点)1,1(P能否作一条直线l,与双曲线交于A、B两点,且点P是线段AB的中点?这是一探索性问题，通过对作业的批改，绝大多数学生有对探索性问题的解决办法即：假设——推理——验证——下结论。具体来说普遍采用了以下两法。法一：（设而不求）假设能作这样的直线l，通过作图可知：直线l的斜率显然，设其为k，从而直线的方程为：)1(1xky即：1kkxy，联立直线和双曲线的方程并消去未知数y可得032)1(2)2(222kkxkkxk。（*）设),(11yxA、),(22yxB由题意可知1x、2x是方程（*）的两个根。故022k且0)32)(2(4)1(42222kkkkk，第2页共4页由题意可知：22)1(2221kkkxx，解之得2k，带入判别式知0，故2k应舍去，所以假设不成立即由题意不能作出这样的直线。法二：（点差法）假设能作这样的直线l，并设),(11yxA、),(22yxB由题意可知A、B在双曲线上，所以122121yx①122222yx②，由①-②得2)(221212121yyxxxxyykl，所以直线l的方程为：)1(21xy即12xy带入双曲线方程得03422xx，032416所以假设不成立，这样的直线不存在。二、提出问题以上两法在学生的作业中普遍存在，但更多的学生最后都忘记了对判别式的检验，从而导致结论的错误。既然学生易漏掉最后的检验，那为什么我们不能结合图形首先判断中点弦是否存在呢？而且很多时候判别式的计算量太大也不便于计算，如：双曲线14922yx中的被点)1,2(P平分的弦所在的直线方程是（）A.798yx，B.2598yx，C.694yx，D.不存在。本题学生极易错选A答案，通过检验判别式答案应选D三、解决问题如图：双曲线及其渐近线，可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域第3页共4页由线性规划的知识可知：当00,Pxy（）在区域Ⅰ内时，有22002201xyab；当00,Pxy（）在区域Ⅱ内时，有2200220xyab；当00,Pxy（）在区域Ⅲ内时，有2200221xyab．利用上述结论，可以证明：当00,Pxy（）在区域Ⅰ时，以它为中点的弦不存在，而在区域Ⅱ、Ⅲ时，这样的弦是存在的．证明过程如下：设双曲线22221xyab的弦AB两端点为11,Axy，22,Bxy，中点为00,Pxy（），则1202xxx，1202yyy，运用点差法得出AB的斜率2020xbkya①令直线AB的方程为00yykxx，即00ykxkxy②把②代入22221xyab，整理得222222222000020bakxkaykxxaykxab，222222222000024kaykxbakaykxab22222004abykxbak③把①代入③，整理得222222000022222041xyxyabyabab，双曲线渐近线方程为：byxa，①若00,Pxy（）在Ⅱ内有00byxa，平方得222002byxa，2200220xyab，这时0，中点弦存在。②若第4页共4页00,Pxy（）在Ⅲ区域内有00byxa，平方得222002byxa，双曲线上横坐标为0x的点纵坐标为：22021xyba，显然有0yy，即220yy成立，2220021xbya，化简得2200221xyab，这时0，则中点弦存在。③若00,Pxy（）在Ⅰ区域内有00byxa，平方得222002byxa，双曲线上纵坐标为0y的点横坐标为：22021yxab，显然有0xx，即220xx成立，2220021yaxb，化简得2200221xyab，再由222002byxa2200220xyab则22002201xyab，这时0，中点弦不存在。上述证明方法对计算能力要求太高，建议不给学生证明。在教学中我们可对作业题给出的P点作更改，然后利用几何画板演示得出结论。最后再利用此结论来解决上述作业题，学生变得心应手了。