一元二次方程实践与探索

第22章一元二次方程22.3实践与探索他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。他被称为现代代数符号之父。韦达还专门写了一篇论文截角术，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了.数学知识介绍韦达（Viete，Francois，seigneurdeLaBigotiere）是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。请同学们把一张正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图1），把四周的矩形分别翻折，能够折合成一个怎样的立体图形？图1做一做实践与探索（1）能够折合成一个无盖的长方体（如图2）图2此长方体的底面是正方形，设剪去小正方形边长为xcm，则底面正方形边长为（10-2x）cm，高为xcm假设正方形硬纸板的边长为10cm(1)如果要求长方体的底面面积为81cm，那么剪去的正方形边长为多少？2图2解：小正方形边长为xcm，则底面边长为（10-2x）cm根据题意得，（10-2x）=81解得，（舍去）答:小正方形边长0.5cm.2120.5,9.5xx(2)如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？折合成的长方体底面积81644936251694剪去的正方形边长折合成的长方体侧面积(面积：cm边长：cm)21232527214321832424850484232在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况？探索先在上面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体侧面积为它的函数，并在直角坐标系中画出相应的点．看看与你的感觉是否一致．你能说明理由吗？解：设侧面积为S则S=4（10-2x）x=-8x2+40x=-8（x-2.5）2+50当x=2.5时，S有最大值为50.用一张80cm长，宽为60cm的薄钢片,在4个角上截去4个相同的小正方形，然后做成一个没有盖的长方体盒子.（1）若长方体盒子的底面积为1500cm2你能求出小正方形的边长吗？现学现用解：如图，设小正方形的边长为xcm，则长方体盒子的底面长为(80-2x)cm，宽为(60-2x)cm（1）列出方程(80-2x)(60-2x)=1500整理得，x2-70x+825=0解得，x1=15，x2=55（不符题意舍去）答：小正方形的边长为15cm.60-2x80-2x（2）折合而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况？若有，你能求出小正方形的边长吗？若没有请说明理由.60-2x80-2x1、有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35m，求鸡场的长与宽各为多少.35-2xxx练习解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为(35-2x)m根据题意,可列出方程x(35-2x)=150整理得，22351500xx1210,7.5xx（不符，舍去）答：鸡场的长为15m，宽为10m.练习2、如图，长方形ABCD，AB=15m，BC=20m，四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246m2，求小路的宽度.DCBA练习解：设小路的宽度为xm，根据题意，可列方程(15+2x)(20+2x)=300+246（舍去）22351230xx123,20.5xx整理得，解得，答：小路的宽是3m练习例振华商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件进价30元，售价74元.为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施扩大销量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价１元，那么平均每天可多售出２件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装售价多少元？每件利润×件数=总利润变式二：求每件童装应降价多少元，改为每件童装售价为多少元例振华商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施扩大销量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价0.5元，那么平均每天可多售出２件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？每件利润×件数=总利润变式三：如果每件童装降价1元，改为每件童装降价0.5元，其余不变例振华商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施扩大销量，增加盈利，尽快减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价１元，那么平均每天可多售出２件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？每件利润×件数=总利润变式四：把增加盈利，减少库存，改为尽快减少库存，其余不变