菱形的定义、性质

看一看平行四边形菱形菱形:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.四边形ABCD是菱形AB=BCABCD∵∴几何语言ABCD有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？BDAC菱形是轴对称图形(2)从图中你能得到哪些结论?并说明理由.提示:从边、角、对角线、面积等方面来探讨(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗?它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?菱形是中心对称图形由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.菱形的性质：BDAC性质1：菱形的四条边都相等。已知.如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，证明：∵四边形ABCD是菱形ABCDO在△ABD中，又∵BO=DO∴AB=AD（菱形的四条边都相等）∴AC⊥BD，AC平分∠BAD同理：AC平分∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC求证：AC⊥BD;AC平分∠BAD和∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC命题：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的两条对角线互相平分菱形的两组对边平行且相等边对角线角数学语言菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。∵四边形ABCD是菱形∥=∴ADBCABCD∥=∴AB=BC=CD=DAADCBO∴∠DAC=∠BAC∠DCA=∠BCA∠ADB=∠CDB∠ABD=∠CBDAC⊥BD∴OA=OC;OB=OD∴∠DAB=∠DCB∠ADC=∠ABC∴∠DAB+∠ABC=180°边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等邻角互补相互平分中心对称图形矩形对边平行且相等四个角是直角相互平分且相等轴对称图形中心对称图形菱形对边平行四边相等对角相等邻角互补相互平分且垂直且平分每一组对角轴对称图形中心对称图形平行四边形、矩形、菱形的性质相等的线段：相等的角：等腰三角形：直角三角形：全等三角形：已知四边形ABCD是菱形AB=CD=AD=BCOA=OCOB=OD∠DAB=∠BCD∠ABC=∠CDA∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC=90°∠1=∠2=∠3=∠4∠5=∠6=∠7=∠8△ABC△DBC△ACD△ABDRt△AOBRt△BOCRt△CODRt△DOARt△AOB≌Rt△BOC≌Rt△COD≌Rt△DOA△ABD≌△BCD△ABC≌△ACDABCDO123456781.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A.内角和为360度B.对角线互相垂直C.对边平行D.对角线互相平分2.下列性质中，菱形具有而矩形不具有的是（）A.轴对称图形B.邻角互补C.对角线平分对角D.对角相等3.菱形对角线的平方和等于一边平方的（）A.2倍B.3倍C.4倍D.8倍BC1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.ODCBA3cm60度3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（）CA.10cmB.7cmC.5cmD.4cmABCDO344.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是（）FECABDA.75°B.60°C.45°D.30°B三、课堂练习5、菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的周长，面积。6、菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为；边长为。7、已知菱形的两个邻角的比是1：5，高是8cm，则菱形的周长为。8、已知菱形的周长为40cm，两对角线的比为3：4，则两对角线的长分别是。9、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角线BD的长。ABCDO94522222OAABOB解：∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD∴∴OB=3∴BD=2OB=6cm543有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决【菱形的面积公式】菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗?菱形ABCDOES菱形=BC·AE思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能计算菱形的面积公式吗?21ABCD=S△ABD+S△BCD=AC×BDS菱形面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半为什么?已知，菱形对角线长分别为12cm和16cm，求菱形的高。由此可进一步推导得出：对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半。EDOBAABCD例1如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积O变式：菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数比为1:2．⑴求菱形ABCD的对角线的长；⑵求菱形ABCD的面积．(3)求菱形ABCD的高．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120度，M、N分别在BC、CD上，且∠EBF=60°。求证:△AMN是等边三角形。BCDAMN变式：如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。证明:不论E、F怎样移动，△BEF总是正三角形。ABCDEFABCDEF已知:如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°,∠BAE=18°,求∠CEF的度数.菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、AD的中点，求证：OE＝OF。FEODCBA如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于F，点E为垂足，连结DF，求∠CDF的度数。ADCFEB如图，将一张边长为4的菱形纸片ABCD固定在一个建立了平面直角坐标系的木板上，A，B在x轴上，D在y轴的正半轴上，C在第一象限上，∠BAD=60°。求A、B、C、D的坐标；ADCBxyO如图所示，P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一动点，点M、N分别是AB、BC边的中点，求MP+NP的最小值。AMPDCBNP四边形集合平行四边形集合菱形集合矩形集合四、课堂小结：矩形和菱形的性质矩形菱形定义有一个角是直角的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形性质1、具有平行四边形的一切性质2、四个角都是直角3、矩形的对角线相等1、具有平行四边形的一切性质2、菱形的四条边都相等3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角