绝对值表达式的几何意义

你热爱生命吗？那么别浪费时间，因为时间是组成生命的材料——富兰克林——数形结合初步1.掌握并理解数轴上的点与数的对应关系2.掌握绝对值的概念及绝对值的几何意义3.通过数轴与绝对值的学习，体验数形结合的思想绝对值的概念:（1）绝对值的几何定义：点A到原点的距离是︱a︱,点C到原点的距离是︱c︱;一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离；2、∣a∣是什么数？最小是多少？∣a∣是非负数，即∣a∣≥0，最小值是0︱︱︱︱︱︱ABC01abc点A与点B的距离：AB=︱a-b︱(或︱b-a︱)点B到点C的距离：BC=︱b-c︱(或︱c-b︱)(2)数轴上两点间的距离：例1.已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点之间的距离为3，那么点B对应的数是.解法一点A到原点的距离是3得A表示的数是±３－４－２－３－１43210由图可得：当A表示3时，B对应的数是2或4当A表示－３时，B对应的数的－２或－４∴点B对应的数是±2或±4思想方法：数形结合例1.已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点之间的距离为3，那么点B对应的数是.解法二：∴点B对应的数是±2或±4设点B表示的数是，则x根据题意得或13x13x解得或2x4x思想方法：方程思想1.数轴上有A、B两点，若点A对应的数是－２，且A、B两点间的距离为3，则点B对应的数是.2.点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为4，则A、B之间的距离是.3.如图，若，则数轴上的原点在.ba3DbaCBA小结：数形结合的优点：直观简便－５或１１或７点Ｃ或点Ｄ例3.若，则下列关系正确的是（）.A.B.C.D.0,0,0babaabbabbaaabababba解：∵0,0ba且0ba∴表示数的点到原点的距离比表示数的点到原点的距离大ab在数轴上如图所示：∴选D.小结：已知数的正负，则可表示在数轴相应位置上0ba－ｂ－ａbabc1.若，则=（）.A.B.C.D.bcba0bacacaca2.已知在数轴上的位置如下图所示，化简式子的值为.a-1a011aaC－１3.已知，在数轴上给出关于的四种情况如图所示，则成立的是（写出所有正确的序号）bbaba2ba、0baab0ab0ab0①②③④①、③当堂检测1.数轴上一动点A向左移动两个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C.若点C表示的数是1，则点A表示的数为.2.数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：.abba0ba3.数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，则点A和点B的距离是.4.已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足abc，abc0且a+b+c=0，那么线段AB与BC的大小关系是.当堂检测答案1.数轴上一动点A向左移动两个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C.若点C表示的数是1，则点A表示的数为.2.数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：.abba0ba－2－2a提示：提示：CBA10520ba0ab且当堂检测答案3.数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，则点A和点B的距离是.4.已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足abc，abc0且a+b+c=0，那么线段AB与BC的大小关系是.提示：提示：A表示的数是±3，B点表示的数是±5数形结合，有4种情况2或8ABBC∵abc0∴a、b、c中有奇数个负数∵a+b+c=0,abc∴a0且数形结合：cbacba0x例2.当，有最值，是.2x分析：∵0a∴即有最小值0，此时，.（绝对值的非负性）02x2x2x含一个绝对值，求最值x例2.当时，有最值，是.2x分析：∵0a∴即有最大值0，此时，.02x2x2x变式1当时，有最值，是.2xx∴0a2小0含一个绝对值，求最值x例2.当时，有最值，是.2x变式2当时，有最值，是.12xx分析：∵∴即有最小值1，此时，.2x2小002x112x12x含一个绝对值，求最值x例3.当时，有最值，是.2x变式3当时，有最值是.12xx分析：∵∴即有最大值1，此时.2x2小002x112x12x含一个绝对值，求最值x例3.当时，有最值，是.2x变式1当时，有最值，是.2xx变式2当时，有最值，是.12xx变式3当时，有最值是.12xx2小02大02小12大1归纳：对于代数式，当时cbxa若，则它有最小值，是.若，则它有最大值，是.0a0accbx含一个绝对值，求最值问题：当x=时，∣x－2∣－3有最小值，最小值是多少？解：∵∣x－2∣≥0∴∣x－2∣－3≥－3∵当x=2时，∣x－2∣=0∴当x=2时，∣x－2∣－3=－3因此，当x=2时，∣x－2∣－3有最小值，最小值是－3含一个绝对值，求最值基础训练题：（1）当x取何值时，|x﹣3|有最小值？这个最小值是多少？（2）当x取何值时，5﹣|x+2|有最大值？这个最大值是多少？（3）当x取何值时，16+∣x-7∣有最小值？这个最小值是多少？答：⑴x=3时值最小，⑵x=-2时值最大，⑶x=7时值最小，最小值是0；最大值是5；最小值是16。从实际问题入手：一个生产流水线上依次排着三个工作台A,B,C,三个工人分别在工作台上工作，问只有一个检修工具箱放在何处，才能使工作台上操纵机器的三个工人每人取一次工具所走的路程之和最短？∣∣∣ABC放在点B的位置上，他们所走的路程之和最短。如果有五工作台呢？有七个工作台呢？∣∣∣∣∣ABCDE点c的位置;∣∣∣∣∣∣∣ABCDEFG点D的位置;探究二当x=时，∣x－1∣+∣x－2∣有最小值，最小值是多少？思维点拨：1、∣x－1∣表示的意义是什么？2、∣x－2∣表示的意义是什么？3、∣x－1∣+∣x－2∣表示的意义又是什么？问题解决解:设A：1，B：2，M：x则AM=∣x－1∣，BM=∣x－2∣ＡＭ＋ＢＭ＝∣x－1∣+∣x－2∣如图，易知当点M在AB上时，ＡＭ＋ＢＭ有最小值因此，当１≤ｘ≤２时，∣x－1∣+∣x－2∣有最小值，最小值是１（AB=1）注：也可用分类讨论的方法求∣x－1∣+∣x－2∣的最小值探究三问题：当x=时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣有最小值，最小值是多少？1、那么怎样求∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣的最小值呢？能否分为两组呢？怎么分组呢？可分为∣x－1∣+∣x－3∣和∣x－2∣两组.有探究一和探究二可知当1≤x≤3时，∣x－1∣+∣x－3∣有最小值为2.当x=2时，∣x－2∣有最小值是0因此，当x=2时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣有最小值，最小值是22、X为多少时，可以满足两组同时取最小值呢？X=2分组标准：存在x取值同时满足各组.有最小值探究四问题：当x=时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣有最小值，最小值是多少？同样，我们可以分为∣x－1∣+∣x－4∣和∣x－2∣+∣x－3∣两组当1≤x≤4时，∣x－1∣+∣x－4∣有最小值为3.当2≤x≤3时，∣x－2∣+∣x－3∣有最小值为1.二者同时取最小值的条件是2≤x≤3因此，当2≤x≤3时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣有最小值，最小值是4探索五问题：当x=时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+∣x－5∣有最小值，最小值是多少？同样，我们可以分为∣x－1∣+∣x－5∣、∣x－2∣+∣x－4∣和∣x－3∣三组当1≤x≤5时，∣x－1∣+∣x－5∣有最小值为4.当2≤x≤4时，∣x－2∣+∣x－4∣有最小值为2.当x=3时，∣x－3∣有最小值为0.三者同时取最小值的条件是x=3因此，当x=3时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+∣x－5∣有最小值，最小值是6探索六问题：当x=时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+∣x－5∣+∣x－6∣有最小值，最小值是多少？同样，我们可以分为∣x－1∣+∣x－6∣、∣x－2∣+∣x－5∣和∣x－3∣+∣x－4∣三组当1≤x≤6时，∣x－1∣+∣x－6∣有最小值为5.当2≤x≤5时，∣x－2∣+∣x－5∣有最小值为3.三者同时取最小值的条件是3≤x≤4因此，当3≤x≤4时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+∣x－5∣+∣x－6∣有最小值，最小值是8当3≤x≤4时，∣x－3∣+∣x－4∣有最小值为1.由上述几个探究你发现了什么规律?每个探索的规律一样吗？探索与发现规律问题：当x=时，∣x－a1∣+∣x－a2∣+∣x－a3∣+...+∣x－an-1∣+∣x－an∣有最小值？已知a1≤a2≤a3≤a4≤...≤an-1≤an猜想：当x=时，原式有最小值.⑴当n为奇数时an21⑵当n为偶数时当时，原式有最小值.aannx212拓展延伸一问题：当x=时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+...+∣x－2012∣有最小值，最小值是多少？当1006≤x≤1007时，原式有最小值.（1007-1006）+（1008-1005）+（1009-1004）+...+（2012-1）它的最小值=1+3+5+7+...+2011=10062拓展延伸二问题：当x=时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+...+∣x－2012∣+∣x－2013∣有最小值，最小值是多少？当x=1007时，原式有最小值.它的最小值（1007-1007）+（1008-1006）[phone]）+...+（2013-1）=0+2+4+6+8+...+2012=1006×1007思考题：1、求式子：︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+…+︱x-2013︱的最小值。解：x=1007时有最小值；最小值是：101304221006)10061(2)1006...4321(2（1）当x取何值时，式子|x﹣7|+|x﹣8|+|x﹣9|有最小值？最小值是多少？（2）当x取何值时，式子：∣x+3∣+∣x+4∣+∣x+5︱+∣x+6∣+|x+7∣有最小值？最小值是多少？解答前面问题：解：x=8时有最小值是2。解：x=-5时有最小值是6︱︱︱︱O789︱︱︱︱︱︱︱-7-6-5-4-301=2(1+2)⑶求式子：∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+.…+︱x-99︱的最小值;解：x=50时有最小值，最小值是：2(1+2+3+…+49)=2×—————(1+49)×492=24502、求式子：100...321).2(1197531).1(xxxxxxxxxx的最小值，并求此时x的取值范围；答：⑴、当5≤x≤7时，最小值是18；⑵、当50≤x≤51时，最小值是2500.例4.化简：.3x分析：根据绝对值的代数意义0,0,aaaaa3,33,33xxxxx变式1：化简：.122xx分析：根据绝对值的代数意义∴需要考虑和的正负0,0,aaaaa2x12x而2,22,22xxxxx21,2121,1212xxxxx210.505.0x25.0x2x解：当原式，5.0xxxx33212012,02xx当原式，25.0x1122xxx012,02xx当原式，2x33122xxx012,02xx∴综上所述，原式2,3325.0,15.0,33xxxxxx变式1：化简：.122xx变式2：求122xx法一：∴综上所述，的最小值为1.5的最小值当，原式5.0xxxx33212012,02xx当，原式25.0x1122xxx当，原式2x33122xxx012,02