空间角

空间角1.在平面几何中角是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。BAO2、异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).abb′a′O异面直线所成的角的范围(0,90]oo如果两条异面直线a,b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直,记为a⊥bABO3、直线和平面所成的角：00(,)090线面夹角即为4．二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，l棱为l，两个面分别为、的二面角记为-l-．这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面．在二面角-l-的棱l上任取一点O，如图，在半平面和内，从点O分别作垂直于棱l的射线OA、OB，射线OA、OB组成∠AOB．怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？5．二面角的大小lOBA(1)定义法根据定义作出来(2)垂面法作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到lABOlOABAOlD(3)垂线法过点A作底面的垂线AO,垂足为O,再作OD垂直于棱L,连接AD6.二面角的平面角的作法7、异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的有什么共同的特征？结论:它们的共同特征都是在度量时将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角来度量。例1正四棱锥P-ABCD,侧棱长等于底面边长求：（1）直线PA与DC所成的角（2）直线PA与平面ABCD所成的角（3）二面角P-AB-C的正切值PABCD（1）直线PA与DC所成的角为∠PAB解：∵△PAB为等边三角形∴∠PAB=60°直线PA与DC所成的角=60°POABCD(2)（2）连接AC，BD交于点O，连接PO由PO⊥平面ABCD有：直线PA与平面ABCD所成的角为∠PAO∵△PAO为等腰直角三角形∴∠PAO=45°直线PA与平面ABCD所成的角为45°设底面正方形边长为2aPA=2a,AO=，PO=2a2aPOABCDE(3)（3）作PO⊥平面ABCD,O为底面正方形的中心过点O作OE⊥AB,E为AB的中点，连接PE二面角P-AB-C的平面角为∠PEO设底面正方形边长为2aRT△PEO中，PO=，OE=2aatan2POPEOOE例2、正方体ABCD-A’B’C’D’棱长等于1，B’C∩BC’=O求：（1）直线AO与A’C’所成的角（2）直线AO与平面ABCD所成角的正切值（3）二面角B-AC’-C的正切值BACDA’B’C’D’OBACDA’B’C’D’O(1)BACDA’B’C’D’O(2)EBACDA’B’C’D’O(3)H练习：已知正四面体ABCD，如图求：（1）直线AD与BC所成夹角的余弦值；（2）直线AD与平面ABCD所成夹角的正切值；（3）二面角A-BC-D，及B-AC-D的余弦值，或正切值ABCD