数学建模实例-双层玻璃的功效

数学建模入门——双层玻璃窗的功效1双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气，如下左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如下右图，玻璃厚度为d2）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。一、模型假设1、热量的传播过程只有传导，没有对流。即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2、室内温度1T和室外温度2T保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3、玻璃材料均匀，热传导系数是常数。数学建模入门——双层玻璃窗的功效2二、符号说明1T——室内温度2T——室外温度d——单层玻璃厚度l——两层玻璃之间的空气厚度aT——内层玻璃的外侧温度bT——外层玻璃的内侧温度k——热传导系数Q——热量损失三、模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：厚度为d的均匀介质，两侧温度差为T，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q，与T成正比，与d成反比，即dTkQ（1）其中k为热传导系数。1、双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为aT，外层玻璃的内侧温度为bT，玻璃的热传导系数为1k，空气的热传导系数为2k，由（1）式单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为：dTTkdTTkdTTkQbbaa21211（2）由dTTkQa11及dTTkQb21可得1212)(kQdTTTTba再代入dTTkQba2就将（2）中aT、bT消去，变形可得：数学建模入门——双层玻璃窗的功效3dlhkkhssdTTkQ,,2)(21211（3）2、单层玻璃的热量流失对于厚度为d2的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为：dTTkQ2211（4）3、单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较比较（3）（4）有：22sQQ（5）显然，QQ。为了获得更具体的结果，我们需要21,kk的数据，从有关资料可知，不流通、干燥空气的热传导系数42105.2k（焦耳/厘米.秒.度），常用玻璃的热传导系数331108~104k（焦耳/厘米.秒.度），于是32~1621kk在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取1621kk，由（3）（5）可得：dlhhQQ181（6）4、模型讨论比值QQ反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与dlh有关，下图给出了hQQ~的曲线，当h由0增加时，QQ迅速下降，而当h超过一定值（比如4h）后QQ下降缓慢，可见h不宜选得过大。数学建模入门——双层玻璃窗的功效4四、模型的应用这个模型具有一定的应用价值。制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的。通常，建筑规范要求4dlh。按照这个模型，%3QQ，即双层玻璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右。不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数2k，而这要求空气是干燥、不流通的。作为模型假设的这个条件在实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些。