控制工程基础复习11.24

fi(t)fi(t)mmfm(t)静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响k0xo(t)0xo(t)Dfk(t)fD(t)机械平移系统及其力学模型控制系统微分方程的列写机械系统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：dddtdt22myo(t)+Dyo(t)+kyo(t)=fi(t)式中，m、D、k通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。R-L-C无源电路网络LRCui(t)uo(t)i(t)有源电路网络i2(t)C+i1(t)Rui(t)uo(t)a即：RCduo(t)dt=ui(t)三、拉氏变换和反变换拉氏变换Laplace（拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、时不变系统的重要工具！2.3.1定义拉氏变换拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了时域和复频域间的联系。2.3.2简单信号的拉氏变换1.单位阶跃信号1(t)f(t)10t单位阶跃函数f(t)12.指数函数指数函数t2.3.3拉氏变换的性质1、叠加性齐次性：L[af(t)]=aL[f(t)]，a为常数；叠加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]a，b为常数；显然，拉氏变换为线性变换。2、微分性（实微分定理）式中，f'(0)，f''(0)，……为函数f(t)的各阶导数在t=0时的值。当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：3、积分定理当初始条件为零时limf(t)存在，则7、终值定理若sF(s)的所有极点位于左半s平面，即tts0limf(t)=f()=limsF(s)●拉氏反变换（2）部分分式法如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，Fn(s)的拉氏反变换可以容易地求出，则L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)（1）配方法，拉氏变换反查表求原函数（例2-3）1、单极点情况ThereareonlysinglerealpolesinF(s)式中，Ai为常数，称为s=-pi极点处的留数。Ai=[F(s)(s+pi)]s=pi于是解：例：求的原函数。四、传递函数及典型环节的传递函数传递函数的概念和定义传递函数Xo(s)Xi(s)G(s)=ˆ在零初始条件下，线性定常系统输出量的象函数与引起该输出的输入量的象函数之比。典型环节及其传递函数环节具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。比例环节：一阶微分环节：二阶微分环节：积分环节：惯性环节：振荡环节：典型环节示例2.4.1比例环节输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。其运动方程为：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)—分别为环节的输出和输入量；K—比例系数，等于输出量与输入量之比。2.4.2一阶惯性环节凡运动方程为一阶微分方程ddtTxo(t)+xo(t)=Kxi(t)=G(s)=形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：KTs+1Xo(s)Xi(s)式中，K—环节增益（放大系数）；T—时间常数，表征环节的惯性，和环节结构参数有关2.4.4积分环节输出量正比于输入量对时间的积分。运动方程为：=传递函数为：G(s)=Xo(s)Xi(s)式中，k为常数dttxktxi)()(0=sk2.4.5二阶振荡环节含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：传递函数：式中，T—振荡环节的时间常数ζ—阻尼比，对于振荡环节，0ζ1K—比例系数振荡环节传递函数的另一常用标准形式为（K=1）：n称为无阻尼固有角频率。五、系统函数方框图系统方框图是系统控制系统的动态数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各环节间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。注意：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。方框图的运算法则串联并联反馈Xo(s)=G(s)E(s)E(s)=Xi(s)mB(s)B(s)=H(s)Xo(s)方框图变换法则比较点的移动比较点后移比较点前移规律一：各前向通道传递函数的乘积保持不变规律二：各回路传递函数的乘积保持不变引出点的移动引出点前移引出点后移由方框图求系统传递函数基本思路：利用等效变换法则，移动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。第三章时域瞬态响应分析3.13.23.33.43.5时域响应以及典型输入信号一阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应时域分析性能指标高阶系统的瞬态响应进行拉氏反变换3.2.1一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入xi(t)=象函数为Xi(s)=则)(1t()()tetxtT1110=S1图3-7一阶惯性环节的单位阶跃响应曲线()()tetxtT1110=一阶惯性环节的单位阶跃响应特点：(1)稳定，无振荡；(2)经过时间T曲线上升到0.632的高度；(3)调整时间为(3～4)T；(4)在t=0处，响应曲线的切线斜率为1/T；(5)据此鉴别系统是否为一阶惯性环节。3.3二阶系统的瞬态响应用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它的典型形式是二阶振荡环节。形式一：n为阻尼比；为无阻尼自振角频率形式二：称为阻尼自振角频率。1.欠阻尼01二阶系统的极点是一对共轭复根。式中，进行拉氏反变换，得特点：1.以d为角频率衰减振荡；2.随着的减小，振荡幅度加大。3.4时域分析性能指标时域分析性能指标是以系统对单位阶跃输入的瞬态响应形式给出的。3.超调量Mp响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比；单位阶跃输入时，即是响应曲线的最大峰值与稳态值的差。通常用百分数表示。4.调整时间ts响应曲线达到并一直保持在允许误差范围内的最短时间。Mp3.求取4.求取ts以进入±5%的误差范围为例，解得当阻尼比较小时，有同理可证，进入±2%的误差范围，则有第四章控制系统的频率特性4.1机电系统频率特性的概念4.2极坐标图（Nyquist图）4.3对数坐标图（Bode图）4.4由频率特性曲线求系统传递函数4.7控制系统的闭环频响频率特性的定义设系统传递函数为G(s)。定义系统输出信号的稳态响应相对其正弦输入信号的幅值之比A()=G(j)为系统的幅频特性。幅频特性描述系统在稳态下响应不同频率的正弦输入时在幅值上的增益特性（衰减或放大）。定义系统输出信号的稳态响应相对其正弦输入信号的相移()=G(j)为系统的相频特性。相频特性描述系统在稳态下响应不同频率的正弦输入时在相位上产生的滞后（0）或超前（0）特性。上述定义的幅频特性和相频特性()=G(j)统称为系统的频率特性，它描述了系统对正弦输入的稳态响应。()jG=)(A图4-2线性系统的正弦稳态响应输出系统频率特性的表示形式系统的频率特性函数是一种复变函数，可以表示成如下形式：G(j)=U()+jV()U()是G(j)的实部，称为实频特性。V()是G(j)的虚部，称为虚频特性。频率特性函数也可以表示成如下形式：A()是G(j)的模，称为幅频特性。()是G(j)的相角，称为相频特性。矢量图表示如图：另外，频率特性函数还可以仿照复数的三角表示法和指数表示法工程中最常见的表示方法是幅频特性和相频特性形式频率特性的求取——解析法系统的频率特性函数G(j)可由系统的传递函数G(s)求得。G(j)=G(s)s=j函数。将s平面的复变量s=+j的取值范围限定在虚轴上，即s=j所得到的传递函数G(j)就是系统的频率响应。频率响应是在s=j特定情况下的传递4.2极坐标图（乃奎斯特图，或乃氏图）乃奎斯特（H.Nyquist)1889~1976，美国Bell实验室著名科学家极坐标图是反映频率特性的几何表示。当从0逐渐增长至+时，频率特性G(j)作为一个矢量，其端点在复平面相对应的轨迹就是频率特性的极坐标图。极坐标图也称为乃氏图或乃奎斯特曲线。4.2.1典型环节的乃氏图1.比例环节jVoG(j)=KG(j)=KG(j)=02.积分环节1jG(j)=G(j)=90oG(j0)=90°G(j)=090°——3.微分环节G(j)=joG(j)=90G(j0)=090°G(j)=90°4.一阶惯性环节G(j)=1jT+1G(j)=arctan(T)G(j0)=10°G(j)=090°G(j)=1jT+1G(j0)=10°G(j)=090°图4-18一阶惯性环节的乃氏图()2222111TTjTjG++=在第四象限5.二阶振荡环节问：第几象限？相角0º～－180º，与负虚轴有交点。令Re[G(j)]=0或G(j)=90°得=1T=n90°12G(jn)=为与负虚轴交点。jTG(j)=e6.延迟环节G(j)=1G(j)=TG(j0)=10°G(j)=1°相角0º～－∞º，与实轴和虚轴有无穷多交点。4.2.2乃氏图的一般作图方法(1)写出G(j)和G(j)表达式；的关系式求出，也可以利用关系式(2)分别求出=0和+时的G(j)；(3)求乃氏图与实轴的交点，可利用Im[G(j)]=0G(j)=n180o（其中n为整数）求出；(4)求乃氏图与虚轴的交点，可利用Re[G(j)]=0的关系式求出，也可利用关系式G(j)=n90o（其中n为奇数）求出；(5)必要时画出乃氏图中间几点；(6)勾画出大致曲线。G(j)=例4-41j(j+1)(2j+1)G(j)=90°arctan()arctan(2)当=0时，G(j)=+90°当=+时，G(j)=0270°其相角范围从-90º~--270º，因此必有与负实轴的交点。解方程G(j)=90°arctan(()arctan((2)=180°即arctan((2)=90°arctan(()所以曲线与负实轴交点的频率为=12=0.707rad/sec该交点距原点的距离为(j)(jT1+1)(jT2+1)L系统的型次机电系统的开环频率特性一般可表示为G(j)=K(j1+1)(j2+1)L当λ=0时，称该系统为0型系统；当λ=1时，称该系统为Ⅰ型系统；当λ=2时，称该系统为Ⅱ型系统；……各型乃氏图的低频段乃氏图的高频段通常，机电系统频率特性分母的阶次大于分子的阶次，故当时，乃氏图曲线终止于坐标原点处；而当频率特性分母的阶次等于分子的阶次，当时，乃氏图曲线终止于坐标实轴上的有限值。一般在系统频率特性分母上加极点，使系统相角滞后；而在系统频率特性分子上加零点，使系统相角超前。乃氏图的负频段令从增长到0，相应得出的乃氏图是与从0增长到+得出的乃氏图以实轴对称的。4.3.1典型环节的伯德图1.比例环节G(j)=KoL()=20lgK()=02.积分环节G(j)=1j()=90oG(j)=1j二重积分环节()=180o21(j)G(j)=3.一阶惯性环节1jT+1G(j)=()=arctan(T)在低频段，L()0()0在高频段，L()20lg(T)()90°用低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示。G(j)=1jT+14.一阶微分环节G(j)=j+1在低频段，L()0()0在高频段，L()20lg()()90°G(j)=j+1二阶振荡环节j6.延迟环节G(j)=e()=