高中数学函数极点与极线探秘

学习数学领悟数学秒杀数学第四章圆锥曲线221极点与极线探秘第一讲极点和极线的定义及极点与极线的作图极点与极线是高等几何中的重要概念，虽然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.一极点和极线的定义和性质在圆锥曲线方程中，以xx0替换2x，以20xx替换x，以0yy替换2y，以02yy替换y，即可得到点),(00yxP的极线方程．已知圆锥曲线22:220AxCyDxEyF，则称点00(,)Pxy和直线0000:()()0lAxxCyyDxxEyyF是圆锥曲线的一对极点和极线.从定义我们共同思考和讨论几个问题:1．若点),(00yxP在椭圆上，则其对应的极线是什么?椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?（1）对于椭圆babyax12222，与点),(00yxP对应的极线方程为12020byyaxx；当),(00yxP为其焦点)0,(cF时，极线12020byyaxx变成cax2，恰是椭圆的右准线．（2）对于双曲线12222byax，与点),(00yxP对应的极线方程为12020byyaxx；当),(00yxP为其焦点)0,(cF时，极线12020byyaxx变成cax2，恰是双曲线的右准线．（3）对于抛物线22pxy，与点),(00yxP对应的极线方程为)(00xxpyy．当),(00yxP为其焦点)0,2(pF时，极线)(00xxpyy变为2px，恰为抛物线的准线．2.过椭圆上（外、内）任意一点),(00yxP，如何作出相应的极线？（1）当点P在圆锥曲线上时，其极线时曲线在点P点处的切线；（2）当点P在外时，其极线l时曲线从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在的直线）；（3）当点P在内时，其极线l时曲线过点P的任一割线两端点处的切线交点的轨迹．为了表达方便，我们给出圆锥曲线内部和外部的定义．圆、椭圆是封闭图形其内部和外部很好界定，抛物线、双曲线不是封闭的是开的，对双曲线和抛物线的内部和外部给出如下定义：焦点所在的平面区域称为该曲线的内部，不含焦点的平面区域称为曲线的外部，曲线上的点既不在内部也不在外部．注意：证明书写过程请参考下一讲《抛物线切线与阿基米德三角形》中的“导、差、代、联”即可，这里不作详述。二极点与极线的作图（几何意义）如图1，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,EFGH，连接,EHFG交于N，连接,EGFH交于M，则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.由图1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线于点,AB两点，则,PAPB恰为圆锥曲线的两条切线.学习数学领悟数学秒杀数学第四章圆锥曲线222如图2，设点P关于圆锥曲线的极线为l，过点P任作一割线交于,AB，交l于Q，则PAPBAQBQ①；反之，若有①成立，则称点,PQ调和分割线段AB，或称点P与Q关于调和共轭，或称点P(或点Q)关于圆锥曲线的调和共轭点为点Q(或点P).点P关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线.注意：关于分割和调和分割问题，在《秒1》的定比点差法破解极点与极线中有阐述，可以参考。图3配极原则：点P关于圆锥曲线的极线p过点Q点Q关于的极线q经过点P;直线p关于的极点P在直线q上直线q关于的极点Q在直线p．由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线．极点极线垂直定理:如图3，设圆锥曲线的一个焦点为F，与F相应的准线为l．（1）若过点F的直线与圆锥曲线相交于NM,两点，则在NM,两点处的切线的交点Q在准线l上，且MNFQ;（2）若过准线l上一点Q作圆锥曲线的两条切线，切点分别为NM,，则直线MN过焦点F，且MNFQ；（3）若过焦点F的直线与圆锥曲线相交于NM,两点，过F作MNFQ交准线l于Q，则连线QNQM,是圆锥曲线的两条切线．注意：极点与极线一般在小题中直接用很爽，但是在大题中，由于不在中学的课本范围内，基本上都无法直接使用，那么解答题中我们只给出思路，很多书写过程还是参考之后提到的切线部分的阿基米德三角形写法，曲线系写法或者定比点差写法．三．极点极线的应用1.求切线和切点弦方程问题【例1】（2013•山东）过点），（13作圆1)1(222yx的两条切线，切点分别为A、B则直线AB的方程为（）A．032yxB．032yxC．034yxD．034yxPEFGHMANB图1PQA图2Bl学习数学领悟数学秒杀数学第四章圆锥曲线223【解析】法一：因为过点(3,1)作圆22(1)1xy的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为1y，切点之一为(1,1)，显然B、D选项不过(1,1)，B、D不满足题意；另一个切点的坐标在(1,1)的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选：A．法二：切点弦AB所在的直线就是点），（13对应的极线，故其方程为11113yx，即032yx．故选A．【例2】（2019•武汉模拟）过椭圆192522yx内一点)2,3(M，做直线AB与椭圆交于点BA，，作直线CD与椭圆交于点DC，，过BA，分别作椭圆的切线交于点P，过DC，分别作椭圆的切线交于点Q，求PQ所在的直线方程．【解析】过点A、B、C、D的切线方程为分别为:1259AAPAxxyyl，:1259BBPBxxyyl，:1259CCQCxxyyl，:1259DDQDxxyyl，因点(pPx，)py在PA，PB上，则1259ApApxxyy，1259BpBpxxyy，这表明(AAx，)Ay，(ABx，)Ay，在直线1259pPyyxx上，同理CD所在的直线方程为1259QQxxyy，因为直线AB，CD相交于点(3,2)M，所以321259PPxy，321259QQxy，所以P、Q所在的直线方程为321259xy．本题实质就是求椭圆192522yx内一点)2,3(M对应的极线方程，P、Q所在的直线方程为192253yx．2.讨论直线与圆锥曲线的位置关系【例3】（2010•湖北）已知椭圆:C1222yx的两个焦点21FF，，点),(00yxP满足1202020yx，则21PFPF的取值范围为，直线1200yyxx与椭圆C的公共点个数是．【解析】依题意知，点P在椭圆内部且与原点不重合．画出图形，由椭圆方程得1c，由数形结合可得，当P点在线段12FF上除原点时，12(||||)2minPFPF，当P在椭圆上时，12(||||)222maxPFPFa，故12||||PFPF的取值范围为[2,22)．由题意知，点),(00yxP和直线1200yyxx恰好是椭圆的一对极点和极线，因为点P在椭圆内，所以极线与椭圆相离，故极线与椭圆公共点的个数为零．【例4】（2009•安徽）已知点),(00yxP在椭圆）（012222babyax，sincos00byax，，20，直线2l与直线1:20201byyaxxl垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线2l的倾斜角为．证明：点P是椭圆12222byax与直线1l的唯一交点．【解析】（Ⅰ）由00221xyxyab，得22020()byaxxay，代入椭圆22221xyab，得学习数学领悟数学秒杀数学第四章圆锥曲线22422222002422200021()(1)0bxbxbxxaayayy，将00cossinxayb，代入上式，得2222coscos0xaxa，从而cosxa，22222002211xyabxyxyab有唯一解00xxyy，即直线1l与椭圆有唯一交点P．易知),(00yxP与直线1l是椭圆的一对极点极线，点),(00yxP在椭圆上所以直线1l与椭圆相切与点P，即点P是椭圆1:20201byyaxxl与直线1l唯一交点．（Ⅱ）00tantanybxa，1l的斜率为2020tantanyaaxbb，由此得2tantantan0，tan，tan，tan构成等比数列．3.最值问题【例5】（2018•安徽期末）已知椭圆C的方程为13422yx，过直线4:xl上任意一点Q，作椭圆C的两条切线，切点分别为BA，，则原点到直线AB距离的最大值为．【解析】法一：设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，0(4,)Qy，由椭圆22221(0)xyabab在0(x，0)y处的切线方程为：00221xxyyab，则直线QA的方程：11143xxyy，直线QB的方程：22143xxyy，由直线QA，直线QB过Q，将M代入直线QA，直线QB方程得11033xyy，22033xyy，则1(Ax，1)y，2(Bx，2)y分别为方程033xyy的解，直线AB的方程为033xyy，令0y，则1x，直线AB恒过定点(1,0)，当直线AB的斜率不存时，直线AB的方程(1)ykx，O到直线AB的距离2222||111111kkdkkk，当直线AB的斜率不存在时，则直线AB的方程1x，则原点到直线AB距离为1，故答案为：1．法二：切点弦AB是点Q对应的极线，设点Q的坐标为m,4，则可知直线AB的方程为1344myx，即13myx，因为直线AB过椭圆C焦点0,1，所以原点到直线AB的距离的最大值为1．【例6】（2018•诸暨市期末）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点和右焦点分别为A，F，右准线为直线m，圆22:640Dxyy．（1）若点A在圆D上，且椭圆C的离心率为32，求椭圆C的方程；（2）若直线m上存在点Q，使AFQ为等腰三角形，求椭圆C的离心率的取值范围；（3）若点P在（1）中的椭圆C上，且过点P可作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的学习数学领悟数学秒杀数学第四章圆锥曲线225取值范围．【解析】（1）对22640xyy，令0y，则2x．所以，(2,0)A，2a，又因为，32cea，所以，3c，2221bac，椭圆C的方程为：2214xy．（2）由图知AFQ为等腰三角形2aacAFQFcc，所以2220caca，2210ee，(21)(1)0ee，又01e，所以112e，即椭圆离心率取值范围为1(,1)2．（3）法一：连PD交MN于H，连DM，则由圆的几何性质知：H为MN的中点，DMPM，MNPD．22222MDMPMDPDMDMNMHPDPD2221MDMDPD，22:(3)13Dxy，13MD，2132131MNPD，设0(Px，0)y，则220014xy且010y„，222222000000(3)36133(1)16(10)PDxyyyyy„21316PD，所以，3902MN．法二思路（切点弦方程请自己证明完成）：点P为椭圆上一点，则点)sin,cos2(P对应的极线（即切点弦MN）方程为2cossin3(sin)402cos(sin3)3sin40xyyxy，由于圆22:640Dxyy的圆心为)3,0(，半径为13，弦心距]213,413