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12.1复数的加法与减法随着虚数的产生,数系得到了进一步的扩充.同时,随着科学和技术的进步,逐步建立起来的复变数函数理论在应用于堤坝渗水的问题、建立巨大水电站时所提供的理论依据中越来越需要进行大量的加、减、乘、除、乘方、开方运算.早在1747年,法国著名的数学家达兰贝尔指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是a+bi的形式(a、b都是实数).他开创了复数四则运算的先河.高手支招1细品教材一、复数的加法1.复数的加法法则设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,复数的加法按照以下法则进行:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.两个复数和仍是一个复数,其实部为a+c,虚部为b+d.因此,两复数相加就是将两个复数的实部相加作为和的实部,虚部相加作为和的虚部.【示例1】计算(7+5i)+(2+3i).思路分析:实部相加作为和的实部,虚部相加作为和的虚部.解:(7+5i)+(2+3i)=(7+2)+(5+3)i=9+8i.【示例2】计算:①(-2+3i)+(5-i);②(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).思路分析:直接运用复数的加减运算法则进行计算.解:①原式=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.②原式=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.2.复数加法的交换律、结合律对任何z1,z2,z3∈C,复数运算律如下:(1)交换律:z1+z2=z2+z1.证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i.则:z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,而z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i,由a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1及复数相等的定义得:(a1+a2)+(b1+b2)i=(a2+a1)+(b2+b1)i,∴z1+z2=z2+z1.(2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i)=a1+b1i+a2+b2i+a3+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)iz1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=a1+b1i+a2+b2i+a3+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).状元笔记因为复数可以用向量表示,而向量的加法遵循平行四边形法则,所以复数的加法遵循平行四边形法则.3.复数加法的几何意义复数用向量表示以后,如果复数对应的向量不在同一直线上,那么这些复数的加法就可按向量加法的平行四边形法则来进行.2设1OZ及2OZ分别与复数a+bi,c+di对应,且1OZ、2OZ不在同一直线上,以1OZ及2OZ为两条相邻边画平行四边形OZ1ZZ2,画x轴的垂线PZ1、QZ2及RZ,并且画Z1S⊥RS.于是,点Z的坐标是(a+c,b+d)，这说明OZ就是复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.由此可知,求两个复数的和,可以先画出与这两个复数对应的向量1OZ、2OZ,如果1OZ、2OZ不在同一直线上,再以这两个向量为两条邻边作平行四边形,那么与这个平行四边形的对角线OZ所表示的向量OZ对应的复数,就是所求两个复数的和.如果两个复数对应的向量在同一直线上,则画一条直线,平移2OZ,使2OZ的起点与1OZ的终点Z1重合,就得向量OZ,OZ对应的复数就表示复数z1与复数z2的和.【示例】已知复数z满足z+|z|=2+8i,求复数z.思路分析:常规解法为设出z=a+bi(a,b∈R),代入等式后,可利用复数相等的充要条件求出a、b.也可以将复数从实部与虚部角度来理解,即将方程化为:z=(2-|z|)+8i,则其实部为2-|z|，虚部为8,然后利用复数求模运算求得|z|.解法1:将z=a+bi(a,b∈R)代入等式,得a+bi+22ba=2+8i,∴,8,15,8,222babbaa解得∴z=-15+8i.解法2:将方程化为:z=(2-|z|)+8i,∵|z|∈R,∴2-|z|是z的实部,于是,|z|=228|)|2(z,即|z|2=68-4|z|+|z|2,∴|z|=17,∴z=(2-|z|)+8i=(2-17)+8i=-15+8i.二、复数的减法1.复数的减法法则设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,复数的减法按照以下法则进行:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.证明:根据复数的加法法则和复数相等的定义,有c+x=a,d+y=b,即x=a-c,y=b-d,∴(x+yi)=(a-c)+(b-d)i,∴(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.两个复数差仍是一个复数,其实部为a-c,虚部为b-d.因此,两复数相减就是将两个复数的实部相减作为差的实部,虚部相减作为差的虚部.3【示例】计算(1-3i)-(2+5i).思路分析:实部相减作为差的实部,虚部相减作为差的虚部.解:(1-3i)-(2+5i)=(1-2)+(-3-5)i=-1-8i.状元笔记复数z1-z2所对应的向量，实质上就是从复数z2所对应的点指向复数z1所对应点的向量;而两复数z1与z2差的模就是这两个复数所对应的两点之间的距离.两复数的加法和减法的几何意义均可用平行四边形法则来表达.2.复数减法的几何意义复数减法的运算同样适应向量的平行四边形法则和三角形法则.设OZ与复数a+bi对应,1OZ与复数c+di对应,如图以OZ为一条对角线,1OZ为一边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边2OZ所表示的向量就与复数(a-c)+(b-d)i对应.这是因为ZZ1与2OZ平行且相等,所以向量ZZ1也与这个差对应,实际上,两个复数差z-z1(即OZ-ZZ1)与连结两个终点,并指向被减数的向量对应,这是复数减法的几何意义.【示例】已知z-|z|=-1+i,求复数z.思路分析:设z=x+yi(x,y∈R)将原复数方程转化为实数方程问题.解:设z=x+yi(x,y∈R),由题意,得x+yi-22yx=-1+i,即(x-22yx)+yi=-1+i,根据复数相等的定义得:,1,122yyxx解得,1,0yx∴z=i.高手支招2基础整理本节内容主要阐述了复数的四则运算中的加法运算、减法运算,复数加减法的几何意义.本节的知识结构如下: