中南大学线性代数1.3-克拉默法则

第三节克拉默法则第一章二、几个重要定理一、克拉默法则三、小结一、克拉默法则如果线性方程组)1(22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112110312123,,,,.nnDDDDxxxxDDDD其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即jDDjnnnj,nnj,nnnj,j,jaabaaaabaaD11111111111那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为1证明njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221211111212111得个方程的依次乘方程组列元素的代数余子式中第用,1,,,21nAAAjDnjjj再把个方程依次相加，得n11111nnnkkjkjkjjknkjnkkkaAxaAxaAx1nkkjkbA由代数余子式的性质可知,.,,2,1njDDxjj.DDx,,DDx,DDx,DDxnn232211,Dxj的系数等于上式中;0的系数均为而其余jixi.jD又等式右端为于是2当时,方程组有唯一的一个解0D211111nnnkkjkjkjjknkjnkkkaAxaAxaAx1nkkjkbA由于方程组与方程组等价,21故312123,,,,.nnDDDDxxxxDDDD也是方程组的解.1二、重要定理定理1如果线性方程组的系数行列式则一定有解,且解是唯一的.11,0D定理2如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.1)1(22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组,,,,21不全为零若常数项nbbb则称此方程组为非齐次线性方程组;,,,,21全为零若常数项nbbb此时称方程组为齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念对于齐次线性方程组2000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组只有零解（没有非零解）.0D22定理如果齐次线性方程组2有非零解,则它的系数行列式必为零.120nxxx一定是它的解这个解称为齐次线性方程组的零解例1用克拉默法则解方程组123412423412342583692254760xxxxxxxxxxxxxx解6741212060311512D212rr24rr12770212060311357012772121357212cc232cc2770103532733,2767402125603915181D,8167012150609115822D,10860412520693118123D,2707415120903185124D,27,3278111DDx,42710822DDx,1272733DDx.1272744DDx解111132421D03310121111齐次方程组有非零解，则0D所以或时齐次方程组有非零解.20,3123123123124023010xxxxxxxxx例2问取何值时，齐次方程组有非零解？231.用克拉默法则解方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.三、小结思考题当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?此时方程组的解为何?不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.思考题解答