高中数学选修4-4--第一讲-坐标系--1.1-平面直角坐标系

第一讲坐标系1.1平面直角坐标系1.体会直角坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中刻画点的位置的方法和坐标法的解题步骤.2.会运用坐标法解决实际问题与几何问题.3.通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换下平面图形的变化情况及作用.1．平面直角坐标系．在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定度量单位和这两条直线的方向，就建立了______________．它使平面上任一点P都可以由________实数对(x，y)确定．2．坐标法．根据几何对象的特征，选取适当的________，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的________．平面直角坐标系唯一的坐标系坐标法3．伸缩变换．设P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：x′＝λx，λ0，y′＝μy，μ0的作用下，点P(x，y)对应点P′(x′，y′)，称为平面直角坐标系中的__________________，简称伸缩变换．坐标伸缩变换1．到直角坐标系两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是________________．2．将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是()A.x′＝23x，y′＝32yB.x′＝32x，y′＝23yC.x′＝y，y′＝xD.x′＝x＋1，y′＝y－1y＝x或y＝－xB预习思考题型1轨迹探求例1线段AB的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，且|AB|＝4，求AB中点P的轨迹方程．分析：题目未给出坐标系，因此，应先建立适当的坐标系，显然以互相垂直的两直线分别为x轴，y轴最合适．解析：解法一以两条互相垂直的直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系，如图所示．设P(x，y)，由于△OAB是直角三角形，P为AB的中点，所以，|OP|＝12|AB|，即x2＋y2＝12×4，即x2＋y2＝4.故点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.解法二建立直角坐标系同解法一．设P(x，y)，A(x1,0)，B(0，y2)，则x21＋y22＝16.①又P为AB的中点，所以x1＝2x，y2＝2y.代入①，得4x2＋4y2＝16.故点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.平面内有一固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB中点，求|OP|的最小值．例2解析：以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如右图，∵|PA|－|PB|＝3＜|AB|，则点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支上．由题意知2c＝4，∴c＝2.由题意知2a＝3，∴a＝32.∴b2＝c2－a2＝4－94＝74.∴点P的轨迹方程为x294－y274＝1x≥32.由图可知，点P为双曲线右支与x轴的交点时，|OP|最小，|OP|min＝32.变式训练1．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)D题型2伸缩变换例3在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x′＝2x，y′＝4y后的图形．(1)2x＋4y＝1；(2)x2＋y2＝4.解析：由伸缩变换式x′＝2x，y′＝4y得x＝12x′，y＝14y′.①(1)将①代入2x＋4y＝1，得到经过伸缩变换后的图形方程为x′＋y′＝1.所以，经过伸缩变换后，直线2x＋4y＝1变成直线x′＋y′＝1.(2)将①代入x2＋y2＝4，得到经过伸缩变换后的图形的方程为x′24＋y′216＝4.所以，圆x2＋y2＝4经过伸缩变换后变成椭圆x′216＋y′264＝1.例4把方程y＝sinx变为y′＝12sin4x′的伸缩变换公式为________．解析：令变换公式为x′＝λx，λ0，y′＝μy，μ0.∴x＝1λx′，y＝1μy′代入y＝sinx得1μy′＝sin1λx′.与y′＝12sin4x′比较知：λ＝14，μ＝12.∴x′＝14x，y′＝12y.答案：x′＝14x，y′＝12y2．已知伸缩变换公式x′＝x，y′＝4y，曲线C在此变换下变为x′2＋y′216＝1，求曲线C的方程．解析：设P(x，y)为曲线C上任意一点，把x′＝x，y′＝4y代入x′2＋y′216＝1，得x2＋y2＝1.故曲线C的方程为x2＋y2＝1.变式训练