线性系统解耦

2020/4/251耦合：控制量与被控量之间是互相影响、互相关联的，一个控制量的变化同时引起几个被控制量变化的现象。解耦：消除系统之间的相互耦合，使各系统成为独立的互不相关的控制回路。解耦方法：线性系统的解耦减小耦合选择变量配对调整控制器参数减少控制回路消除耦合串联补偿解耦状态反馈解耦2020/4/252串联补偿解耦法状态反馈解耦法对于多输入多输出系统，实现解耦的前提条件是输入变量的个数和输出变量的个数相同。解耦控制设计的目的是消除输入输出的关联耦合作用，实现每一个输出仅受相应的一个输入的控制，每一个输入也仅能控制一个相应的输出。在此将介绍两种经典解耦方法：时域法频域法2020/4/253,,ABC设系统是一个维输入维输出的系统，mmxAxBuyCx（1）若其传递函数矩阵转化为对角形有理分式矩阵1112121221()()()()()()()()mmmmgsgsgsgsgssgsgsG（2）则称该系统是解耦的。1122()000()()000()mmgsgssgsG2020/4/254串联动态补偿解耦设耦合系统的传递函数矩阵为，p()sG要设计一个传递函数矩阵为的串联补偿器，c()sG使得通过反馈矩阵实现如图所示的闭环系统为解耦系统。Hp()sGc()sGH-()sY()sR()sU()sε2020/4/255由上图可以求得解耦系统的闭环传递函数矩阵为1()()()sssΦIGHG其中()sG前向通道传递函数矩阵pc()()()sssGGG（3）（4）由式（3）得()()()sssIGHΦG()()()()ssssΦGHΦG()()()sssΦGIHΦ2020/4/2561()()()sssGΦIHΦ将上式代入式（4）得1cp()()()sssGGG11p()()()sssGΦIHΦ这就是串联补偿器的传递函数矩阵。对于单位反馈矩阵，即。HI此时，解耦系统的闭环传递函数矩阵为1()()()sssΦIGG（5）2020/4/257此时得到单位反馈串联补偿器的传递函数矩阵为11cp()()()()ssssGGΦIΦ单位反馈解耦系统的开环传递函数矩阵为1()()()sssGΦIΦ由于解耦系统的闭环传递函数矩阵为对角矩阵()sΦ1122()000()()000()mmssssΦ（6）2020/4/258c11()Gsc21()Gsc12()Gsc22()Gs++++--p11()Gsp22()Gsp21()Gsp12()Gs1y2y1u2u121r2r2020/4/259c11p1111c11p11()()()1()()gsgssgsgsc22p2222c22p22()()()1()()gsgssgsgsc11p211c21p221()()()()()()0gsgssgsgssc22p122c12p112()()()()()()0gsgssgsgss2020/4/2510[评注]串联补偿器的传递函数矩阵还可以由补偿c()sG原理来确定。为此，首先设在串联补偿器的作用下，多输入-多输出系统已经得以解耦，并且具有要求的闭环传递函数矩阵。()sΦ2020/4/2511状态反馈解耦设完全能控的多输入-多输出线性定常系统xAxBuyCx的传递函数矩阵为1()ssGCIAB2020/4/251212()()()lGsGsGs为非对角线矩阵。其中x维状态向量nu维输入向量l维输出向量ly2020/4/2513选取控制规律uFxHr使得如图所示的状态反馈系统CBAHF++xxyur2020/4/2514()xABFxBHryCx为解耦系统，并要求其传递函数矩阵具有如下形式：1()ssΦCIABFBH12111100100100ldddsss（7）2020/4/2515其中矩阵为状态反馈矩阵，lnF矩阵为输入变换矩阵（非奇异矩阵），llH(1,2,,)idil是非负整数，其值由式(1,2,,)ilminid()iGs[各元素分母与分子多项式的次数差]1确定。2020/4/2516[定理]采用式uFxHr所示的控制律，实现多输入-多输出线性定常系统xAxBuyCx状态反馈解耦的充分必要条件是：ll矩阵12lEEEE2020/4/2517为非奇异。其中1lim()idiisEsGs为了使解耦系统()xABFxBHryCx具有式（7）所示的传递函数矩阵，()sΦ状态反馈矩阵及输入变换矩阵应取为：FH2020/4/25181FEN1HE其中矩阵定义为：lnN1211121ldddlcAcANcA其中为系统输出矩阵的行向量。(1,2,,)icilC2020/4/2519因此，系统的极点全都等于零。因此明此类系统在实际上是不稳定的，不便直接应用。通常的解决办法是：对积分型解耦系统进一步通过附加状态反馈，按照性能指标要求将其极点配置到希望的位置上。由于解耦系统的传递函数矩阵的元素全部具有积分环节或数个积分环节串联的形式，()sΦ2020/4/2520[例2]已知完全能控的多输入-多输出线性定常系统xAxBuyCx其中110020013A111100B100001C2020/4/2521试确定用以实现积分型解耦的状态反馈矩阵和输入变换矩阵。[解]计算给定系统的传递函数矩阵12()()()GssGsG1sCIAB2020/4/252222231322115656ssssssss从传递函数矩阵看出，()sG由于121()2gss2121()56gsss2020/4/2523均不为零，所以在给定系统中存在着耦合现象。为确定矩阵，E需要按照式1lim()idiisEsGs来计算。0111lim()sEsGs01231lim322ssssss2020/4/2524111122lim()sEsGs112211lim5656ssssss112020/4/2525其中1min1,110d2min2,211d由此求得121111EEE2020/4/2526由于，det0E故，矩阵为非奇异，E满足给定系统实现积分型解耦的充分必要条件。为确定矩阵，N需要计算：1111dcAcA1101000200131102020/4/252721222dcAcA21100010200130592020/4/2528由此求得122cANcA110059现在计算状态反馈矩阵11922219322FEN2020/4/2529现在计算输入变换矩阵111221122HE最后，计算解耦系统的传递函数矩阵110()10ssssΦCIABFBH2020/4/2530可见，通过所选的状态反馈矩阵及输入变换矩阵FH，的确能使给定系统实现积分型解耦。2020/4/2531[例19]考虑双容水箱的水位调节系统。1h2h泵1泵21f2f12f水位表2水位表12020/4/2532偏差状态空间开环模型：11122211224444xxuxxuyxxy这里对水箱的结构进行了改造，两个水箱的水位偏差均可测量。这就构成了一个2输入2输出2阶线性定常系统。2020/4/2533开环系统的传递函数矩阵为：1()ssGCIAB11010441001014401s14444ss44884488ssssssssss2020/4/2534开环系统的输入-输出关系为：11224488()()()44()88sssssYsUsYssUsssss显然这是一个耦合系统，在此我们进行状态反馈解耦控制设计。2020/4/2535CBAHF++xxyur4444A1001B1001CuFxHr状态反馈解耦控制律为2020/4/2536需要按照式为确定矩阵，E1lim()idiisEsGs来计算。0111lim()sEsGs44lim88sssssss102020/4/25370122lim()sEsGs44lim88sssssss01由此求得121001EEE2020/4/2538由于，det0E故，矩阵为非奇异，E满足给定系统实现积分型解耦的充分必要条件。为确定矩阵，N需要计算：111144104444dcAcA212244014444dcAcA2020/4/2539由此求得12cANcA4444状态反馈矩阵为14444FENN2020/4/2540输入变换矩阵为11001HE闭环传递函数矩阵为1()ssΦCIABFBH1sIAF1sI1010ss2020/4/2541从参考输入到输出信号的传递关系为112210()()()1()0YsRssYsRss系统解耦已实现！写成时域动态关系为：1122yryr这是一个临界稳定的解耦系统。很遗憾，在实际中是行不通的！2020/4/2542现在可以分别对两个相互独立的通道进行进一步设计。先考虑第一个通道11yr进一步引入输出反馈控制律115ry代入后可得115yy其中就是人为配置的极点。5再考虑第二个通道22yr同理可以引入输出反馈控制律225ry2020/4/2543最终得出完整的反馈控制律如下：uFxHr112244104401xrxr11225441044015xyxy1122544445xxxx2020/4/2544111222544445uxxuxx121441xx从效果上来看，最终还是相当于一个全状态反馈控制！2020/4/2545开环模型：1112224444xxuxxu11221441uxux反馈控制律：闭环系统的状态方程为：11225005xxxx2020/4/2546本次课内容总结线