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比和比例的意义与性质【考点内容】了解比、除法、分数的关系，掌握求比值和化简比的方法，理解比和比例的意义和基本性质，掌握正比例和反比例的变化规律，了解比例尺的意义和作用。【知识梳理】一、比的意义和性质1.比的意义（1）比：两个数相除又叫两个数的比。在两个数的比中，比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。比的前项除以比的后项所得的商，叫比值。（2）比和除法、分数的关系项目\名称比除法分数各部分名称前项被除数分子比号除号分数线后项除数分母比值商分数值书写形式a:ba÷ba/b意义表示两个数的倍数关系。是一种运算。可以表示两个数的倍数关系，还可以是一个数。联系①性质相似。②可以相互转化。③比的后项、除法的除数、分数的分母都不能为0。2.比的基本性质比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。3.求比值和化简比（1）求比值求比的前项除以后项所得的商的过程，叫求比值。比值通常用分数表示，也可以用小数和整数表示。（2）化简比比的前项和后项都是整数，并且互质，这样的比就是最简单的整数比。根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比，这个过程就叫化简比，也叫比的化简。（3）求比值和化简比的区别内容\项目意义方法结果求比值求用比的前项除以后项所得的商根据比值的意义，用前项除以后项。是一个数。化简比把比化成最简单的整数比。根据比的基本性质，前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）。是一个比。二、比例的意义1.比例的意义（1）比例表示两个比相等的式子叫比例。组成比例的四个数，叫比例的项。两端的两项叫比例的外项，中间的两项叫比例的内项。（2）比和比例的区别①比表示两个数相除的关系，有四项，前项和后项不能交换位置。②比例表示两个比相等的关系，有四项，等号左边和右边可以交换位置。2.比例的基本性质在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。3.解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫解比例。【例题讲解】例1把4：9的前项加8，要使比值不变，后项也要加8。（）【考点】考查比的性质。【解析】根据比的性质，前项加8，变为12，即扩大到原来的3倍，要使比值不变，后项也应扩大到原来的3倍，结果为27，所以后项要加18。例2甲数的3/4等于乙数的4/5，且甲、乙两数均不为0，则甲数与乙数的比是（）。【考点】考查比例的基本性质。【解析】根据题意可列出关系式：甲数×3/4=乙数×4/5。联系比例的基本性质得出：甲数：乙数=4/5：3/4，化简后得：甲数：乙数=16：15。例3在一次数学测验中，甲、乙两同学所得的分数比是5：4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5：7.甲、乙原来各得多少分？【考点】列比例方程。【方法点拨】设原来甲的得分是5X分，那么乙的得分是4X分，根据得分变化，可列出比例方程为：（5X-22.5）：（4X+22.5）=5：7，再按解比例的方法，可求出X的值。最后分别求出甲、乙两同学原来的分数。【解析】设原来甲的得分是5X分，那么乙的得分是4X分，依题意：（5X-22.5）：（4X+22.5）=5：7（5X-22.5）×7=（4X+22.5）×535X-157.5=20X+112.515X=270X=18所以，甲同学原来的得分：18×5=90（分），乙同学原来的得分：18×4=72（分）【课堂练习】1.把3/5吨：400千克化成最简的整数比是（），比值是（）。2.在一个比例中，已知两个内项互为倒数，其中一个外项是2.5，一个内项是3，则另一个外项是（），组成的比例式是（）。3.将比的前项乘以2，后项除以1/2，比值将（）A.乘2B.乘4C.除以1/2D.不变4.甲把自己的钱的1/3给了乙以后，甲、乙两人的钱数相等，甲、乙原有钱数的比是（）。A.1：3B.3：1C.3：5D.5：35.X：3/8=8：3/51/4：1/7=1/3：（4-X）6.小华看一本书，第一天看了全书的1/3，第二天看了18页，这时已看的页数和剩下的页数之比是7：5。那么小华第一天看了多少也？7.一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1：2：3．某人走各段路所用时间之比依次是4：5：6．已知他上坡时速度为每小时3千米．路程全长50千米．问：此人走完全程用了多少时间？正比例和反比例【知识梳理】一、正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫成正比例的量，它们的关系叫正比例关系。若用字母X和Y表示两种相关联的量，用k（k≠0）表示它们的比值（一定），则正比例关系可以用式子Y/X=k表示。二、反比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫成反比例的量，它们的关系叫反比例关系。若用字母X和Y表示两种相关联的量，用k（k≠0）表示它们的乘积（一定），则反比例关系可以用式子XY=k表示。三、正、反比例的联系与区别名称\项目相同点不同点特征关系式正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。两种量中，相对应的两个数的比值一定。Y/X=k（非0定值）反比例两种量中，相对应的两个数的积一定。XY=k（非0定值）【例题讲解】例1下列各选项中，相关联的两种量成正比例关系的是().A.等边三角形的周长和任意一边的长度B.圆锥的体积一定，圆锥的底面积和高C.正方体的棱长一定，正方体的体积和底面积D.利息和利率【方法点拨】判断两种相关联的量是否成正比例，就看它们是不是比值一定，若比值一定，则成，否则，就不成；据此逐项进行分析后再选择．【答案详解】A、因为等边三角形周长÷边长=3(一定)，所以等边三角形的周长和边长成正比例．B、圆锥的底面积×高=体积×3(一定)，是乘积一定，圆锥的底面积和高成反比例．C、体积÷底面积=高(一定)，是比值一定，所以正方体的体积和底面积成反比例.D、利息÷(利率×时间)=本金(一定)，是比值一定，所以利息和利率成反比例.故本题的答案选A。例2下表中，已知a与b是两种相关联的量。a60Xb1550（1）当X=200时，a和b成（）比例。（2）当X=（）时，a和b成反比例。【方法点拨】该题考查对正比例和反比例的灵活运用，可以结合正、反比例的特征来解答。【解析】在a与b两种量相关联的情况下，（1）将X=200代入该表格中，有以下等式60/15=200/50=4，所以a和b成正比例。（2）根据反比例的特征，a与b的乘积为定值，即50×X=60×15，解得X=18。【课堂练习】1.下列各式中a和b（a，b均不为0）成反比例关系的是（）。A．a×=1B．a×8=C．9a=6bD．=b2.已知x，y(均不为0)满足1/3X=1/4Y，则X和Y成()比例关系，并且X:Y＝():().3.下图表示一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成（）比例。照这样计算，5.5小时行驶（）千米。4.甲加工3个零件用了40分钟，乙加工4个零件用30分钟，甲、乙工作效率之比为（）。A.3：4B.4:3C.9:16D.16:95.完成一项工作，甲需要10小时，乙需要15小时，甲的工作效率比乙的工作效率高百分之几？比例尺一、比例尺的概念一幅图的图上距离和实际距离的比，叫这幅图的比例尺，即图上距离：实际距离=比例尺，或图上距离/实际距离=比例尺。二、比例尺的分类1.数值比例尺为了计算方便，通常把比例尺写成前项或后项是1的比。例如1：100000，15：1，1/100000。2.线段比例尺在图上附有一条表明数量的线段。例如：【例题讲解】例1在一幅比例尺是1：1000000的地图上量得甲、乙两地的距离是3.5厘米，甲、乙两地的实际距离是（）千米。【方法点拨】考查灵活运用“图上距离：实际距离=比例尺”来解决实际问题。解：比例尺1：1000000表示地图上的1厘米是实际的1000000厘米，则地图上的3.5厘米表示实际距离为3500000厘米，即35千米。例2在一副比例尺是1：3000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是8cm。在另一幅地图上量得甲、乙两地的距离是6cm，这幅地图的比例尺是多少？【方法点拨】考查“图上距离/实际距离=比例尺”的灵活运用。解：先根据已知地图的比例尺和图上距离，可求得甲、乙两地的实际距离为8÷（1/3000000）=24000000（cm）；再利用公式求得该地图的比例尺是6/24000000=1/40000000，即这幅地图的比例尺为1：4000000。专题综合测试一、填空。（4×2分）1.北京到天津的实际距离是120千米，在一幅地图上量得两地的图上距离是2厘米，那么这幅地图的比例尺是（）。2.一个长方形的周长是130厘米，长与宽的比是3：2，那么该长方形的面积是（）平方厘米．3.已知5x=3y，那么x和y成（）比例关系；若5：x=y：3，那么x和y成（）比例关系。4.若a：b=1：3，b：c=2：5，且a+b+c=69，则a=（）。二、判断。（3×2分）5.3.5：0.7的比值是5：1。（）6.比例尺一定，图上距离与实际距离成反比例关系。（）7.一条长2.5千米的飞机跑道，如果把它画在比例尺是1：50000的图纸商，这条跑道长0.5厘米。（）三、选择。（4×2分）8.比的前项扩大到原来的3倍，后项除以1/3，比值（）A.扩大到原来的3倍B.扩大到原来的9倍C.缩小到原来的1/3D.不变9.《小学生学习报》全国定价每份39.6元，则六（1）班订阅份数和总钱数（）关系。A.成正比例B.成反比例C.不成比例D.无法确定10.在下面各比中，能与1/5：1/7组成比例的是（）。A.1/：1/5B.5：7C.7：5D.0.5：0.711.红旗面数是黄旗的5/4倍，那么红旗面数和两种彩旗总数的比是（）。A.5：4B.5：9C.9：5D.4：5四、计算。（18分）12.化简下面各比并求比值。（6×2分）0.5：43/2：7/42/5：0.20.7：0.254.5：2.75厘米：1.5厘米13.解比例。（2×3分）（1）0.6/12=1.5/X（2）6：X=1/5：1/3五、解决问题。（1×8分）14.有大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯。如果记号①表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，记号②表示5大杯、4中杯、3小杯容量之和，那么记号①与记号②的容量之比是多少？