数学建模论文-cpi

摘要消费者物价指数，英文缩写为CPI，是反映居民生活有关的商品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标。所以如何来准确计算CPI消费者物价指数显得至关重要。目前国内的CPI指数统一执行国家统计局规定的八大类体系，即食品、烟酒及用品、衣著、家庭设备用品及服务、医疗保健及个人用品、交通和通信、娱乐教育文化用品及服务、居住等八大类占的权重构成。从CPI的计算公式可以看出，权重的取值是计算CPI的关键因素，要使计算出的CPI能够准确、客观反应物价水平，就要科学地选取权重的值。那么我们如何来取权重的值？权重与哪些因素有关呢？根据题目所给的信息以及对往年CPI的值与加权系数的数据观察分析，我们假设消费结构与CPI加权系数呈线性关系。由此，我们通过Matlab来建立消费结构与CPI加权系数的关系。首先，我们需要获取几组的消费结构与加权系数的数据。为了得到加权系数，我们根据计算CPI的方程，列出多项式用Matlab求解，但是由于各类代表商品的CPI数据本身的误差较大，得出的权重误差太大，甚至有负数，由此，我们又换了另一种方法，回归分析，结果也是因为误差大二求解失败。最后，我们通过查找资料的方式，获得了几组准确的权重数据，以此来建立模型。在建立模型的时候，采用了线性回归模型，用Matlab软件求解，求出置信区间和相关系数，残差等，并画图进行残差分析，在进行多项式拟合，通过图形看出消费结构与CPI权重的关系，获得相应的系数，建立近三年的线性关系模型，并与以往的数据进行验证。对于第二个问题我们收集相关数据，取最具有代表性的三年的消费结构和CPI指数进行分析，建立近几年平均的消费结构与不同收入等级的人的关系，分别对不同人群计算出CPI被低估的程度。CPI作为重要的经济指数，不仅可以让老百姓直观的评价物价的上涨程度，更重要的是有利于政府的市场的调控，便于确定货币的发行量，避免通货膨胀。为了得到较准确的CPI，需要统计具有代表性的消费品，根据不同因素的影响，确立最优的选择代表性的消费种类的方案。对此，我们对计算CPI以及CPI环比增长值得方程进行观察，转换，分析，化简，得出加权系数与消费水平增长值对CPI的影响最大，然后再建立CPI，权重，消费水平增长值之间的模型。关键词：线性回归、残差、Matlab软件、最优方案一、问题的重述目前，居民消费指数（CPI）是一种度量通货膨胀水平的工具，主要反映消费者支付商品和劳务的价格变化情况。它由食品、烟酒及用品、衣著、家庭设备用品及服务、医疗保健及个人用品、交通和通信、娱乐教育文化用品及服务、居住所占的权重构成。每一类在CPI中占一定的比例，即加权数。这个加权数是在二十多年前确定的，至今没有进行根本的调整。例如，食品的加权数占三分之一左右，而以衣着、教育、住房等占的加权数相当低。二十年前这种加权数的确是合理的，因为当时吃是人们主要支出，而医疗、教育、住房都有政府补贴，人们支出很少。而今社会在突飞猛进的发展，人民的生活水平高了，人们的消费结构发生了很大变化，食物的支出比例有所下降，但医疗、教育、住房等的支出大大增加了。按以前的加权数难以计算出今天的CPI，也难以反映出不同商品对人民生活的影响。所以我们需要通过搜集以往的数据解决以下问题：1、建立数学模型，分析CPI加权系数是如何随消费结构的变化而改变。2、根据建立的数学模型来判断CPI是否被低估，并且计算出不同人群对CPI低估的程度。3、从数学的角度，考虑到各种因数的影响，试确定出反映CPI具有代表性的消费种类时的最优方案。二、问题的分析由于社会的发展，人民的生活水平提高了，消费结构也发生了巨大的变化，人们的消费结构发生了变化，这必然会影响CPI中八个种类所占得的权重，而我们现在还在使用以前的CPI权重，这样就不是很理想地反映消费者支付商品和劳务的价格变化情况以及通货膨胀的情况。但是不同收入的人对市场的反应不一样，那么就会导致CPI在不同消费结构的人们中，他们的所占得比重就不同，就会导致CPI是否被低估了呢以及政府是如何选择消费种类来计算CPI。通过上述分析，容易看出，有以下几个问题需要解决：（1）CPI加权系数在一年内是不变的，因此可以根据一年内任意八个月的CPI数据，建立八元一次方程组，求解出八类商品所对应的加权系数。（2）根据收集以往的消费结构和CPI加权系数，确定出CPI的权重与消费结构的变化关系。（3）建立数学关系，求出他们的相关系数，与原始数据进行验证。（4）收集数据，确定不同收入的人群他们的消费结构如何，主要消费在哪些方面，由于消费种类的差异，不同的消费人群对政府公布的CPI表示怀疑，绝大多数人认为政府公布的CPI明显被低估了。建立数学模型，定量说明不同人群认为CPI被低估的程度。（5）由于统计部门在统计不同种类的商品时是确定了某些代表性的商品，而这些商品并不是永远具有代表性，这就可能导致调查结果不能准确的反映实际情况，无法对CPI进行较准确的计算。因此，在不同的时期，应该有不同的代表商品，使统计的CPI更能反映真实的情况。根据不同情况确立优化方案。三、问题的假设1、假设加权系数在一年之内基本不变化。2、假设加权系数之和等于1，而不是实际的大于或等于1.3、假设在一年内不出现任何的天灾人祸（金融危机、地震），出现市场抢购等现象，导致消费结构紊乱。4、假设统计的消费品中的代表商品在这段时间内仍然具有代表性。四、符号说明1X:表示食品类的加权系数；2X：表示衣着类的加权系数；3X：表示家庭设备用品及服务类的加权系数；4X：表示医疗保健及个人用品类的加权系数；5X：表示交通和通信类的加权系数；6X：表示娱乐教育文化及用品类的加权系数；7X：表示居住类的加权系数；8X：表示烟酒及用品类的加权系数；A:表示食品类价格指数；B：表示衣着类价格指数；C:表示家庭设备用品及服务类价格指数；D:表示医疗保健及个人用品类价格指数；E:表示交通和通信类价格指数；F:表示娱乐教育文化及用品类价格指数；G:表示居住类价格指数；H:表示烟酒及用品类价格指数；a:表示食品类月增长量；b:表示衣着类月增长量；c:表示家庭设备用品及服务类月增长量；d:表示医疗保健及个人用品类月增长量；e:表示交通和通信类月增长量；f:娱乐教育文化及用品类月增长量；g:居住类月增长量；h:烟酒及用品类月增长量；Y:代表消费结构；bint：回归区间估计和置信区间r：残差atats：（r2，F，P）r^2：相关系数F：FF(K,n-k-1)时拒绝Hｏ，H越大，方程越显著P:Pα时拒绝Hｏ，回归成立。五、模型的建立与求解（一）八大类消费品CPI加权系数的确定CPI加权系数是计算CPI的必需的系数，具有重要的意义。据统计部门的规定，根据消费结构的变化，CPI加权系数五年做一次较大的调整，每年也有较小的调整。而在一年之内CPI的加权系数是不变的。因此可以通过对一年内八个月的数据进行分析，建立八元一次线性方程组，求解出八大类消费品所对应的加权系数。CPI计算公式：12345678CPIAxBxCxDxExFxGxHx现对2009年的CPI加权系数进行求解：MATLAB程序：symsabcdefghieq1='99.6*a+99.5*b+98.7*c+98.1*d+100.5*e+99.5*f+108.8*g=101.2-102.5*h';eq2='101.3*a+99.6*b+98.0*c+97.7*d+100.3*e+98.9*f+109.6*g=101.6-101.6*h';eq3='101.7*a+99.6*b+98.2*c+97.7*d+100.3*e+99.3*f+109.4*g=101.7-101.2*h';eq4='101.0*a+99.5*b+98.3*c+97.8*d+100.0*e+99.6*f+109.1*g=101.4-101.0*h';eq5='101.5*a+99.5*b+98.2*c+97.8*d+99.9*e+99.3*f+108.9*g=101.5-100.7*h';eq6='100.2*a+99.6*b+97.7*c+97.7*d+99.7*e+99.3*f+108.8*g=101.0-100.5*h';eq7='100.3*a+99.9*b+98.0*c+97.6*d+99.6*e+99.0*f+101.9*g=99.9-99.7*h';eq8='a+b+c+d+e+f+g=0.04+1-h';[a,b,c,d,e,f,g,h,]=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7,eq8)a=eval(a)b=eval(b)c=eval(c)d=eval(d)e=eval(e)f=eval(f)g=eval(g)h=eval(h)结果：a=1.2426131867948042389113324801981b=-3.7299294072382672989904565946520c=-4.6191559815655868650624377922197d=4.2684729715036090967639408158315e=1.1416297811122542008548080863841f=2.1470380732525364046203129835479g=-.48148378624779397619585309345177h=1.0708151623884441990983531143619结果分析：CPI加权系数里面出现了负值，说明计算方法可能出现了问题。经分析，主要由于公布的价格指数精度不够，这种方法理论上可行，但实际却得不到理想的结果。查询数据，得到2005年、2006年、2009年的CPI加权系数。2005年[0.340.090.140.060.100.130.100.04]；2006年[0.3320.0910.060.100.1040.1420.1320.039]；2009年[0.3360.090.040.110.090.1450.1360.05]；（二）CPI加权系数是如何随消费结构的变化而改变1、通过查找资料的方式获得2005年八大类商品的消费结构比例及其权重，（1）通过分析建立如下回归分析程式：y=[36.5210.4710.026.426.9813.7212.013.87]';X=[0.340.090.140.060.100.130.100.04]';x=[ones(8,1),X];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05);b,bint,statsrcoplot(r,rint)计算结果如图所示：通过对计算结果的数据分析得出以下结论：当α=0.05，可以获得两个β值：10.9192107.6814即线性回归方程为：107.68140.9198YXbint：-5.22083.381279.3843135.9785atats：（r^2，F，P）2^0.9353r，说明相关性很强F：F=86.7031,FF(K,n-k-1),拒绝Hｏ，方程显著P:P=0.00010.05=α，此时拒绝Hｏ，回归成立。(2)通过函数rcoplot(r,rint)获得残差分析图如下所示：从残差图可知，各个数据的余残差离零点较近，且残差的置信区间也包含零点，这说明回归模型能较好地符合原始数据。2、通过查找资料的方式获得2006年八大类商品的消费结构比例及其权重编辑如下回归分析程式：y=[35.7810.375.737.1413.1913.8310.403.56]';Ｘ=[0.3320.0910.060.100.1040.1420.1320.039]';x=[ones(8,1),Ｘ];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05);b,bint,statsrcoplot(r,rint)计算结果如图所示：(见