§10 应力应变分析及应力应变关系

工程力学（C）北京理工大学理学院力学系韩斌(23)§10应力应变分析及应力应变关系§10.1应力的概念一点处的应力状态1.内力在变形体内某一截面上分布的描述TM用截面法求某一截面上的内力，得出该截面上的内力分量：MTFFSN,,,——截面分布内力系向截面形心简化后的等效力系为正确描述变形，应在该截面上的每一点，描述内力的状况。xyzNFSFRFCMAA在P点取面元A，A上分布内力合力为在m-m截面上P点处定义：FNFSFFSFNFAFNA0limm-m截面上P点的正应力AFSA0limm-m截面上P点的切应力（剪应力）AFpA0limm-m截面上P点的全应力p应力的单位：1Pa=1N/m21Mpa=106Pa1Gpa=103Mpa=109Pa2.变形体内某一点的应力状态——应力张量的概念正应力、切应力（或全应力）——均与过物体内部的某一点的一个截面有关过物体内部某点p的所有截面上的应力分量的总体，称为变形体在该点的应力状态描述变形体内部某点的应力状态，应用二阶张量描述§10.2应力张量的表示方法（分量表示法）1.单元体的概念变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元在直角坐标系下，单元体为无限小正六面体xyzxyz单元体的三对表面：正面：外法向与坐标轴同向负面：外法向与坐标轴反向单元体是变形体的最基本模型2.应力张量的表示方法单元体每个表面上，都有该点在该截面上的应力矢量（全应力），可分解为三个分量每对表面上的应力矢量互为反作用力，共9个分量xyzxyz各应力分量的记法xy该分量的指向所在面的法向xyxzxxyyyzyxzyzzzxzyzzzxyyyzyxxyxzxx两脚标相同——正应力两脚标不同——切应力故应力张量的分量表示为：zzzyzxyzyyyxxzxyxx~zzyzxyzyyxxzxyx~或zzyzxyzyyxxzxyx~或若记x=1,y=2,z=3,则333231232221131211~3.单元体的平衡条件xyzxyxzxxyyyzyxzyzzzxxCyCzC以单元体为分离体,过其形心C作xC,yC,zC轴：0,0,0CCCxyzMMMyzzyyxxyzxxzjiij切应力互等定理故应力张量为二阶对称张量9个分量中，只有6个独立分量！§10.3平面应力状态分析若某点的单元体应力状态满足：9个应力分量有些为零，不为零的应力分量作用线都在同一平面内——称为平面应力状态或二向应力状态xyzxyyyxxyxyxyx可简化为平面单元体：xyxyyyxxyxyxyx例如当物体的表面不受力时在表面取出的单元体例如外力作用在板平面内的薄板内任意点取出的单元体1.平面应力状态的工程表示方法xyxyyxyxyx正应力，以拉为正xy切应力，以使单元体顺时针转动为正xy应力分量的正负号规定：故切应力互等定理为：yx2.平面应力状态分析——解析法若某点的应力状态已知，可求出该点任意外法线与为n的斜截面上的应力分量。已知：某点单元体上的应力分量xyx,,xyxyyxyxyxn求该点外法线为n的斜截面——面上的正应力,切应力。沿斜面将单元体切开取分离体，设斜面面积为dAxyxy0nFsin)cos(cos)cos(dAdAdAxx0cos)sin(sin)sin(dAdAxynt2sin2cos22xyxyx同理可得：0tF2cos2sin2xyx斜面应力公式2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx（10.1）(10.2)xyxyyxyxyxn§10.4主平面、主方向、主应力、最大切应力1.主平面主方向主应力在变形体内某一点处：若某一方向的斜截面上，则该截面称为主平面0该斜截面的方向角称为主方向，记为P，则有02cos2sin2xyx(10.2)0~2内，得两个值和，且1P2P9012PPyxxP22tan（10.3）主方向公式即这两个主平面相互垂直主平面上的正应力称为主应力由斜面应力公式（10.1）2sin2cos22xyxyx02cos22sin22xyxdd令yxx22tan即（10.3）式同样有故，主平面上的正应力达到极值即主应力分别对应于的极大值和极小值将P1，P2代入（10.1）得出主平面上的主应力为：2222xyxyx（10.4)主应力公式以主平面为单元体的各面则称为主单元体xyxyyx1P2P从变形体内任意点取出的单元体称为原始单元体主单元体的各表面上只有正应力，没有切应力对平面应力状态，z平面也为一个主平面，其上的主应力为零。故平面应力状态有三个主应力：按代数值大小排列为123分别称为第一主应力，第二主应力，第三主应力，对任意的一般应力状态，同样存在着三个相互垂直的主平面及三个主应力。一般应力状态的分类；某点的三个主应力全不为零——该点为三向应力状态某点有一个主应力为零——该点为二向应力状态某点有二个主应力为零——该点为单向应力状态，简单应力状态某点处所有截面上的正应力，其极大值为1，极小值为3单向、双向、三向应力状态2.某点单元体的最大切应力2cos2sin2xyx由斜面应力公式求导(10.2)02sin22cos)(xyxddPyxxS2tan22cot上式的两个解S1，S2为切应力达到极值的平面S与主平面P相差45º，即P1与P2的角平分线方向为S1和S2的方向。切应力的极值为：2PiPS45ºxPi注意同理，某点的三个主应力中，任意二个主应力都可找出一组切应力极值，分别为：该点单元体的最大切应力应为三者当中的最大者，即231max（10.5）2321P2312P2213P主切应力123所在平面3P1232P所在平面1231P所在平面而最大切应力所在平面的法向应为1，3两方向的角平分线方向。321max思考题：最大切应力所在平面上的正应力是多少？=？已知初始单元体的应力(单位：Mpa)，求主单元体上的应力并画出主单元体。解：MPa10905040304040223080xy例题1§10应力应变分析与应力应变关系例题MPa80x0yMPa30x由初始单元体上的应力分量代入主应力公式：故三个主应力分别为MpaMpa10,0,903212222xyxyx45.181P55.712P4380602tanP求主方向：例题1§10应力应变分析与应力应变关系例题45.18x55.71§10.5应力圆一点处平面应力状态的图解法。xyxyyxyxyx由斜面应力公式可得2cos2sin2xyx(b)2sin2cos22xyxyx(a)上两式两边平方后相加222222xyxyx圆的方程：圆心()02,yx圆的半径：222xyx)(R2222Ryx上式在应力坐标系中为一圆，称为应力圆(莫尔圆)O圆心()02,yx2yx圆的半径：222xyx)(Rxxx,Dxyy,DCR应力圆的画法：xyxyyxyxyx已知某点的平面应力状态为xyx,,x面坐标Dx（）y面坐标Dy（）xx,xy,两点连线与轴的交点为圆心C以CDx为半径画出应力圆应力圆的物理意义：圆周上任意一点的坐标值，为该点某一斜截面上的正应力和切应力xyxyyxyxyx角以逆时针为正Oxxx,Dxyy,D2yxCR2),(因此，当连续变化至时，坐标绕应力圆的圆心转一周.,应力圆上一点，由绕圆心转过角，对应截面上的应力Dx2,Oxxx,Dxyy,D2yxCRxyxyyxyxyx2),(OC2yx2yxxyyD,xxxD,12P22Ppi2,D从应力圆上还可找到：主应力，主方向，主切应力主应力：主方向：zPP,,21方向00,,321,,最大切应力：231maxOC2yx2yxxyyD,xxxD,12P22Ppi2,Dyxxyyxyxyx1P2PPi单元体的主应力、主方向、主切应力（2）纯剪切（纯剪）TT主单元体45º-几种工程上常见的应力状态的实例：（1）单向拉伸（2）单向压缩单拉-单压某点单元体应力状态如图，确定该点的主应力、主方向，画出主单元体及其上的应力，并在应力圆上标出图示截面上的应力，（单位：）MPa302050100例题2§10应力应变分析与应力应变关系例题解：2220210030210030MPa6.243.1057100302022tanP8.2922PC8012P例题2§10应力应变分析与应力应变关系例题302050100xD2030yD10022P9.142P与2对应主应力为：0,6.24,3.105321MpaMpa1.759021PP与1对应DMPa6.7840MPa9.374040主单元体：1.759.14Mpa7.24Mpa3.105例题2§10应力应变分析与应力应变关系例题已知应力圆如图，画出该点的初始单元体及应力，主单元体及应力。（单位：）MPa解：C4020yDxD例题3§10应力应变分析与应力应变关系例题初始单元体2040xy半径28.28202MPa28.48202122020MPa28.820122022012tanP5.1125.2221PP主单元体：例题3§10应力应变分析与应力应变关系例题C4020yDxD2040xy28.4828.85.22112.5°xzy§11.5三向应力状态将三个主应力按代数量的大小顺序排列321因此根据每一点的应力状态都可以找到3个相互垂直的主应力和3个正交的主方向xzy213xyxzxxyyyzyxzyzzzx三向应力圆空间任意方向截面上的应力，可由三向应力圆所夹阴影面中某点的应力坐标表示。K一点处最大的剪应