6.5广义积分

§6.5广义积分初步bafxdx[,]ab积分区间是有限的；()[,]fxab被积函数在上是有界的；称这类有限区间上有界函数的定积分为正常积分或常义积分。实际中还经常会遇到无限区间或无界函数的积分问题.0,xedxdxx1121这两类积分统称为广义积分.其中前者称为无穷限积分,后者称为瑕积分.常义积分讨论是否可积，广义积分讨论是否收敛。对于广义积分的计算是以极限为工具来解决的,即先将广义积分转化为定积分,再对该定积分求极限.一、无穷限积分----无穷区间上广义积分()()()bafxdxfxdxfxdxxOy211bdxx21(1)yxxx例：考查由与轴“所围”图形的面积.21yxbS11bx11bS211limbbdxxlimbS1lim(1)bb1221111lim1bbdxdxxx定义：设函数f(x)在区间[a,+)上连续,对任意实数b(其中ba)，称babdxxflim为函数f(x)在区间[a,+)上的广义积分,,adxxfadxxfbabdxxflim(1)若(1)中极限存在,则称广义积分adxxf若(1)中极限不存在,则称广义积分adxxf即收敛。发散。类似地，bdxxflimbaafxdx结果为一值结果不为数值,仅是一个记号无穷限积分记作dxxfcfxdxcfxdx注1：结果与c的选取无关；则只有无穷限积分()()ccfxdxfxdx和同时收敛时,才有收敛.()fxdx注2：判断广义积分的敛散性时要用定义进行判定.例：判断广义积分的敛散性.0dxex解0dxexbxbdxe0lim0limxbbe1limbbe例：判断广义积分的敛散性.0sinxdx解0sinxdx0limsinbbxdx0limcosbbxlim1cosbb不存在所以该广义积分发散.1解21xdx021xdx021xdx0211limaadxxbbdxx0211lim0limarctanaax0limarctanbbxaaarctanlimbbarctanlim.22例：判断广义积分的敛散性.21dxxPP243解21xdxx021xdxx201xdxx例：判断广义积分的敛散性.21xdxx201xdxx20lim1bbxdxx201limln(1)2bbx21limln(1)2bb20,1xdxx发散2.1xdxx从而也发散20.1xdxx21xx注：虽然为奇函数，但例：判断广义积分的敛散性.11pdxx证1p时,11dxx11limbbdxx1limlnbbxlimlnbb1p时,11dxxp11limbpbdxx111lim1pbbxp11lim(1)1pbbp111pp1p111111ppdxpxp发散11dxx发散；3121dxx收敛.•例：计算广义积分dxxxe)(ln1解：1(ln)edxxxlnxt令11,11发散，注：广义积分也可以使用前面的换元法和分部积分法。1lim(ln)bebdxxx1limln(ln)bebdxxln11lim()bbdtt11dttxdxeln)(ln1,lntx令dtt11二、瑕积分---无界函数的广义积分()[,],[,],lim()lim()lim(),()().xcxcxcbafxabcabfxfxfxcfxfxdx若在上某点无界即使得或或称为的瑕点,而形式上的积分成为瑕积分xOy1,0,1,0yxxyx例：考查由“所围”图形的面积.1yx1101dxxSε12x02(1)limS0limS22(1)0,1100011lim2dxdxxx定义：设f(x)在区间(a,b]上连续,x=a为f(x)的瑕点，若0lim(),(),,bbaafxdxfxdx存在则称瑕积分收敛且极限值为该瑕积分的值记为0()lim().bbaafxdxfxdx().bafxdx若极限不存在，称瑕积分发散,此时只是一个记号0lim()bbaafxdxfxdxb为瑕点类似地:(())bcbaacfxdxfxdxfxdxcacb为瑕点.cbbacafxdxfxdxfxdx只有与同时收敛时，才收敛否则发散.例:讨论广义积分的敛散性.10lnxdx解：0limln,xx0lnxx是的瑕点.10lnxdx100limlnxdx1100lim(ln)lnxxxdx0limln10limln10lnlim110lim11例:讨论广义积分的敛散性.22014dxx解：221lim,4xx2124xx是的瑕点.22014dxx2002arcsinlimxdxx202041lim02lim(arcsin0)222001lim212xdx.2例：讨论广义积分101dxxp的敛散性。解：,1时p101dxxp10limlnx0lim(ln)时，1p101dxxp11011lim1ppx1011(1lim)1pp时，1p101dxxp发散时，1p101dxxp收敛。(默认p0),1p1,11pp101dxx发散；13021dxx收敛.01lim,pxx10pxx是的瑕点.(p0)例:讨论广义积分的敛散性.1211dxxdxx1121dxx0121dxx1021解：1211.dxx于是，发散dxx1121111x2错误做法：201lim,xx210xx是的瑕点.发散,因为dxx1021111111ppdxpxp发散1011111ppdxpxp发散dxxp0110111ppdxdxxx10111,,,pppdxdxxx不能同时收敛01,.ppdxx发散解因为x=a为瑕点,例讨论瑕积分的敛散性.例讨论瑕积分的敛散性.bapaxdx)(0()lim()bpadxaxa(默认p0)0limbapdttxat令()bpadxxa0bapdtt11pp发散10111lim1bapppt110111lim1()pppba1()1pbap1()1pbap21.1xdxx例判断的敛散性211xdxx210lim1xdxx2210(1)(1)limtdtt1xt令120lim2(1)tdt3101lim2()3tt3041lim2(())3383211xdxx1xt令210(1)2ttdtt210(1)2limttdtt120lim2(1)tdt83解2210limxxtxedt例计算2210limxxtxedt解2201lnlimxtedtxxe2201limlnxtxedtxe202lnlimxtxedtxe202lnlimxtxedtx220lim2xxxteedtx220lim2xxxteedtx22202lim22xxxxtxeexedt2220limxxxxtxeexedt22222222lim2xxxxxxexeexee2212lim121xxx12210limxxtxedte三、函数——一个重要的广义积分1、函数的定义含参变量t的广义积分称为函数。)0()(01tdxextxt注1：(t)是一个广义积分.注2：(t)是收敛的.注3：(t)中三个x要保持一致.(t+1)=t(t)特别,(n+1)=n！2、函数的重要性质：(t+1)=t(t)证明：0)1(dxextxt0xtdex00|txxtdxeex010dxxettx)(tt1][)1(00xxedxe又(1)n)0()(01tdxextxt(1)321(1)!nnn()nn(1)(1)nnn函数表•[1,2]区间上的函数值可通过函数表查表得到,而对于t0的其它函数值均可由下面递推公式转化到[1,2]区间内：Nnssntsssttstssststt],2,1[,2),()1()2)(1(]2,1[),()2,1(,110),(1)((0.7)(2.7)(1.7)(0.71)0.7(0.7)1(1.7)0.7(1.71)1.7(1.7)3、其他形式的函数：2210()2tuftuedu22102()tuueudu22120()tuuedu10txxedx2xu令()t12t当时,201()2.2xedx例计算下列各式的值:(5)(1)3(3)(5)4!143(3)32!解（）755()()2222311()()222（）解5311()152222114()227()2(2)3()2例计算下列积分：20(1)xxedx23100(1)xxxedxxedx解(3)2!2220(2)xxedx220xxedx解：220(2)2xxedx=18xu令2201()8uuedu1(3)814240xxedx解：66465.0)5.1(43)23(2321)25(21240(3)xxedx1.5012uuedu232012xxedx=2xu令小结•无穷限的广义积分无界函数的广义积分（瑕积分）dxxf)(bdxxf)(adxxf)(cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意：不能忽略内部的瑕点）badxxf)(函数及其重要性质(t+1)=t(t)作业：Pp212，17（2