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第1页（共22页）2016年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A={x|x2﹣1=0}，B={﹣1，2，5}，则A∩B=．2．已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．3．书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．5．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为．6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P（1，3），则其焦点到准线的距离为．7．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为．8．设一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为．9．在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a=5，A=，cosB=，则边c=．10．设Sn是等比数列{an}的前n项和，an＞0，若S6﹣2S3=5，则S9﹣S6的最小值为．11．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=，=2，则•的值为．12．过点P（﹣4，0）的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为．第2页（共22页）13．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=2x+，设g（x）=．若函数y=g（x）﹣t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是．14．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜，x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的取值范围．16．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ACC1A1是正方形，点O是侧面ACC1A1的中心，∠ACB=，M是棱BC的中点．（1）求证：OM∥平面ABB1A1；（2）求证：平面ABC1⊥平面A1BC．17．如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P．垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大）．现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？第3页（共22页）18．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C：+y2=1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r=，①求证：k1k2=﹣；②求OP•OQ的最大值．19．已知函数f（x）=在x=0处的切线方程为y=x．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜成立，求k的取值范围；（3）若函数g（x）=lnf（x）﹣b的两个零点为x1，x2，试判断g′（）的正负，并说明理由．20．设数列{an}共有m（m≥3）项，记该数列前i项a1，a2，…ai中的最大项为Ai，该数列后m﹣i项ai+1，ai+2，…，am中的最小项为Bi，ri=Ai﹣Bi（i=1，2，3，…，m﹣1）．（1）若数列{an}的通项公式为an=2n，求数列{ri}的通项公式；（2）若数列{an}满足a1=1，ri=﹣2，求数列{an}的通项公式；（3）试构造一个数列{an}，满足an=bn+cn，其中{bn}是公差不为零的等差数列，{cn}是等比数列，使得对于任意给定的正整数m，数列{ri}都是单调递增的，并说明理由．选作题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内选修4-1：几何证明选讲（满分10分）21．如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连接AD，BD．若AC=4，DE=3，求BD的长．第4页（共22页）选修4-2：矩阵-变换22．设矩阵的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2+y2=1，求曲线C的方程．选修：4-4:坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知点A的极坐标为（2，﹣），圆E的极坐标方程为ρ=4cosθ+4sinθ，试判断点A和圆E的位置关系．选修：4-5：不等式选讲24．已知正实数a，b，c，d满足a+b+c+d=1．求证：+++≤2．[必做题]（第25、26题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）25．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=2，=λ．（1）若λ=1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）若二面角B1﹣A1C1﹣D的大小为60°，求实数λ的值．26．设集合M={1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为Sn，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为Tn．（1）求，，，的值；（2）猜想的表达式，并证明之．第5页（共22页）2016年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A={x|x2﹣1=0}，B={﹣1，2，5}，则A∩B={﹣1}．【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A，再由交集定义求解．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣1=0}={﹣1，1}，B={﹣1，2，5}，∴A∩B={﹣1}．故答案为：{﹣1}．2．已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z===，则|z|==．故答案为：．3．书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，求出取出的两本书都是数学书包含的基本事件个数，由此能求出取出的两本书都是数学书的概率．【解答】解：∵书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，基本事件总数n==10，则取出的两本书都是数学书包含的基本事件个数m=，∴取出的两本书都是数学书的概率p=．故选为：．4．运行如图所示的伪代码，其结果为17．第6页（共22页）【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S的值．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=1+1+3+5+7的值，所以S=1+1+3+5+7=17．故答案为：17．5．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为17．【考点】分层抽样方法．【分析】根据学生的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：设从高一年级学生中抽出x人，由题意得=，解得x=18，则从高三年级学生中抽取的人数为55﹣20﹣18=17人，故答案为：17．6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P（1，3），则其焦点到准线的距离为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出抛物线的方程，把点P代入即可求得p，则抛物线的方程可得其焦点到准线的距离．【解答】解：由题意，可设抛物线的标准方程为y2=2px，因为曲线C经过点P（1，3），所以p=，所以其焦点到准线的距离为．故答案为：．7．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣3．第7页（共22页）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线经过点A时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．由，得，此时zmin=1﹣4=﹣3．故答案为：﹣3．8．设一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为2．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由已知条件先求出正四棱锥的体积，再设该正方体的棱长为a，由正方体与正四棱锥的体积相等，能求出正方体的棱长．【解答】解：已知正四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SB=，过S作SE⊥底面ABCD，垂足为E，过E作EF⊥BC，交BC于F，连结SF，则EF=BF=，SF==，SE==2，∴VS﹣ABCD===8，设该正方体的棱长为a，∵一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，∴a3=8，解得a=2．故答案为：2．第8页（共22页）9．在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a=5，A=，cosB=，则边c=7．【考点】正弦定理．【分析】利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinB，利用正弦定理即可求b的值，利用余弦定理即可解得c的值．【解答】解：∵cosB=，a=5，A=，∴sinB==，∴由正弦定理可得：b===4，∴由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，即：32=25+c2﹣6c，解得：c=7或﹣1（舍去）．故答案为：7．10．设Sn是等比数列{an}的前n项和，an＞0，若S6﹣2S3=5，则S9﹣S6的最小值为20．【考点】数列的求和．【分析】利用等比数列的前n项和公式、数列的单调性、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比q＞0，q≠1．∵S6﹣2S3=5，∴﹣=5．∴=5．∴q＞1．则S9﹣S6=﹣=•q6==5+10≥5×+10=20，当且仅当q3=2，即q=时取等号．∴S9﹣S6的最小值为20．故答案为：20．11．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=，=2，则•的值为﹣2．第9页（共22页）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的加法的三角形法以及向量的数量积的定义计算即可．【解答】解：∵=﹣，∴•=（+）•，=（+）•，=（+﹣）（﹣），=（+）（﹣），=（•+﹣2），=（3×3×+32﹣2×32），=﹣2，故答案为：﹣2．12．过点P（﹣4，0）的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为x±3y+4=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】当点A为PB中点时，先求出PA2=10，再与圆C：（x﹣1）2+y2=5联立，求出A的坐标，即可求直线l的方程【解答】解：由割线定理，可得（PC﹣）（PC+）=PA•PB，∴20=2PA2，∴PA2=10设A（x，y），则（x+4）2+y2=10，与圆C：（x﹣1）2+y2=5，联立可得x=﹣1，y=±1∴直线l的方程为x±3y+4=0．故答案为：x±3y+4=0．13．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=2x+，设g（x）=．若函数y=g（x）﹣t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是[﹣，]．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．第10页（共22页）【分析】根据函数奇偶性的性质，利用f（0）=0求出m的值，利用g（x）与f（x）的关系求出g（x）的表达式，利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．【