圆锥曲线定义、标准方程及性质(精)

圆锥曲线定义、标准方程及性质一．椭圆定义Ⅰ：若F1，F2是两定点，P为动点，且21212FFaPFPF（a为常数）则P点的轨迹是椭圆。定义Ⅱ：若F1为定点，l为定直线，动点P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0e1），则P点的轨迹是椭圆。标准方程：12222byax)0(ba取值范围：}{axax，}{bybx长轴长=a2，短轴长=2b焦距：2c准线方程：cax2焦半径：)(21caxePF，)(22xcaePF，212PFaPF，caPFca1等（注意：涉及焦半径时①用点P坐标表示，②第一定义，第二定义。）注意：（1）图中线段的几何特征：11FAcaFA22，21FAcaFA1211FBaFBFBFB122221，222122baBABA等等。顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与cba,,有关。（2）21FPF中经常利用余弦定理．．．．、三角形面．．．．积公式．．．将有关线段1PF、2PF、2c，有关角21PFF结合起来，建立1PF+2PF、1PF2PF等关系（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：sincosbyax；（4）注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在y轴上时，其相应的性质。二、双曲线（一）定义：Ⅰ若F1，F2是两定点，21212FFaPFPF（a为常数），则动点P的轨迹是双曲线。Ⅱ若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e（e1），则动点P的轨迹是双曲线。（二）图形：（三）性质方程：12222byax)0,0(ba12222bxay)0,0(ba取值范围：}{axaxx或；实轴长=a2，虚轴长=2b焦距：2c准线方程：cax2焦半径：)(21caxePF，)(22xcaePF，aPFPF221；注意：（1）图中线段的几何特征：1AFacBF2，2AFcaBF1顶点到准线的距离：caacaa22或；焦点到准线的距离：caccac22或两准线间的距离=ca22（2）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：02222byaxxaby若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）（3）特别地当时ba离心率2e两渐近线互相垂直，分别为y=x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为22yx；（4）注意21FPF中结合定义aPFPF221与余弦定理21cosPFF，将有关线段1PF、2PF、21FF和角结合起来。（5）完成当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质。三、抛物线（一）定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。（二）图形：（三）性质：方程：焦参数pppxy),0(,22；焦点：)0,2(p，通径pAB2；准线：2px；焦半径：,2pxCF过焦点弦长pxxpxpxCD212122注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=2p；焦点到准线的距离=p；通径长=p2顶点是焦点向准线所作垂线段中点。（2）抛物线pxy22上的动点可设为P),2(2ypy或或)2,2(2ptptPPpxyyx2),(2其中考点一求圆锥曲线方程求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.●典例探究［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14m，CC′=18m,BB′=22m,塔高20m.建立坐标系并写出该双曲线方程.命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.知识依托：待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程。错解分析：建立恰当的坐标系是解决本题的关键。技巧与方法：本题第一问是待定系数法求曲线方程。解：如图，建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴.设双曲线方程为2222byax=1(a＞0,b＞0),则a=21AA′=7又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上，所以有179,17112222222122byby由题意，知y2－y1=20,由以上三式得：y1=－12,y2=8,b=72故双曲线方程为984922yx=1.［例2］过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为22的椭圆C相交于A、B两点，直线y=21x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强.知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二，用韦达定理.解法一：由e=22ac,得21222aba,从而a2=2b2,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,.)(221212121yyxxxxyy设AB中点为(x0,y0),则kAB=－002yx,又(x0,y0)在直线y=21x上，y0=21x0,于是－002yx=－1,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1.右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),byxbxybxy111221解得则由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=89,1692a.∴所求椭圆C的方程为2291698yx=1,l的方程为y=－x+1.解法二：由e=21,22222abaac得,从而a2=2b2,c=b.设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=22214kk,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－2212kk.直线l：y=21x过AB的中点(2,22121yyxx),则2222122121kkkk,解得k=0，或k=－1.若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.［例3］如图，已知△P1OP2的面积为427，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为213的双曲线方程.命题意图：本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.知识依托：定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程.错解分析：利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出△P1OP2的面积是学生感到困难的.技巧与方法：利用点P在曲线上和△P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值.解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.设双曲线方程为2222byax=1(a＞0,b＞0)由e2=2222)213()(1abac，得23ab.∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=23x和y=－23x设点P1(x1,23x1),P2(x2,－23x2)(x1＞0,x2＞0),则由点P分21PP所成的比λ=21PPPP=2,得P点坐标为(22,322121xxxx),又点P在双曲线222294ayax=1上，所以222122219)2(9)2(axxaxx=1,即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2①,427131241321sin||||211312491232tan1tan2sin21349||,21349||212121121212222212121121xxOPPOPOPSOxPOxPOPPxxxOPxxxOPOPP又即x1x2=29②由①、②得a2=4,b2=9故双曲线方程为9422yx=1.●思路方法一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0).定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.●考点一训练一、选择题1已知直线x+2y－3=0与圆x2+y2+x－6y+m=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m等于()A.3B.－3C.1D.－12中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为()12575D.17525C.1252752B.1752252A.22222222yxyxyxyx二、填空题3.直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.4.已知圆过点P(4，－2)、Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，则该圆的方程为_________.三、解答题5已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=3104，试求椭圆的方程.6.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.7.已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2=320,椭圆C2的方程为2222byax=1(a＞b＞0)，C2的离心率为22，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程.考点二直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.●典例探究［例1］如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为4的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.命题意图：直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”.知识依托：弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程