1.3.4导数在研究函数中的应用综合训练 高2015级

oaX1X2X3X4baxy)(4xf)(1xf1.3.4导数在研究函数中的应用综合训练2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况求定义域—求导—求极值点—列表—求极值(2)将y=f(x)的各极值与端点处函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)3.假设在区间[a，b]上函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线,求它的最大值与最小值的步骤如下：注意:1.在定义域内,最值唯一;极值不唯一2.最大值一定比最小值大.例1、设的导数为,若函数的图象关于直线12x对称，且/(1)0f(1)求实数a、b的值，(2)求函数的极值例2、设()fxxaxbx的导数'()fx满足'(),'()fafb，其中常数,abR。（Ⅰ）求曲线()yfx在点(,())f处的切线方程；(Ⅱ)设()'()xgxfxe，求函数()gx的极值。例3、设函数axxxaxf22ln)(，0a（Ⅰ）求)(xf的单调区间；（Ⅱ）求所有实数a，使2)(1exfe对],1[ex恒成立．解：（Ⅰ）因为f（x）=a2lnx-x2+ax，其中x＞0．所以f'（x）=a2x-2x+a=-(x-a)(2x+a)x．由于a＞0，所以f（x）的增区间为（0，a），f（x）的减区间为（a，+∞）．（Ⅱ）证明：由题得，f（1）=a-1≥e-1，即a≥e，由（Ⅰ）知f（x）在[1，e]内单调递增要使e-1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立，只要{f(1)=a-1≥e-1f(e)=a2-e2+ae≤e2解得a=e．已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）设g（x）=（1-a）x，若存在x0∈[1/e，e]，使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．练习：已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）设g（x）=（1-a）x，若存在x0∈[1/e，e]，使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．解：f（x）的定义域为x＞0（I）将a=1代入f（x）得f（x）=）=x2-3x+lnx所以f′（x）=2x-3+1/x=(2x2-3x+1)/x令f′（x）＞0得0＜x＜12或x＞1所以函数的单调增区间(0，12)，(1，+∞)已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）设g（x）=（1-a）x，若存在x0∈[1/e，e]，使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．（II）f′(x)=2x-(2a+1)+a/x=(2x2-(2a+1)x+a)/x令f′（x）=0得x=1/2(舍)或x=a当a≤1时，f′（x）＞0f（x）在区间[1，e]上的单调递增所以[f（x）]min=f（1）=-2a；当1＜a＜e时，f（x）在[1，a]单调递减，在[a，e]上单调递增所以[f（x）]min=f（a）=-a2-a+alna；当a≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减所以[f（x）]min=f（e）=e2-2ae-e+a．已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）设g（x）=（1-a）x，若存在x0∈[1/e，e]，使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）设g（x）=（1-a）x，若存在x0∈[1/e，e]，使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．（III）令x2-（a+2）x+alnx≥0在[1/e，e]上有解．∴a≤x2-2x/x-lnx在[1/e，e]上有解令h（x）=x2-2x/x-lnx在[1/e，e]单调递增所以h(x)max=(e2-2e)/(e-1)故实数a的取值范围为a≤(e2-2e)/(e-1)点评：解决不等式有解问题，常用的方法是分离参数，构造新函数