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湖南省衡阳县2018-2019学年高一上学期期末质量检测数学试题）（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知集合𝐴={𝑥|𝑥1}，𝐵={𝑥|3𝑥1}，则()A.𝐴∩𝐵={𝑥|𝑥0}B.𝐴∪𝐵=𝑅C.𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥1}D.𝐴∩𝐵=⌀【答案】A【解析】解：∵集合𝐴={𝑥|𝑥1}，𝐵={𝑥|3𝑥1}={𝑥|𝑥0}，∴𝐴∩𝐵={𝑥|𝑥0}，故A正确，D错误；𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥1}，故B和C都错误．故选：A．先分别求出集合A和B，再求出𝐴∩𝐵和𝐴∪𝐵，由此能求出结果．本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2.下列四组函数，表示同一函数的是()A.𝑓(𝑥)=√𝑥2，𝑔(𝑥)=𝑥B.𝑓(𝑥)=𝑥，𝑔(𝑥)=𝑥2𝑥C.𝑓(𝑥)=√𝑥2−4，𝑔(𝑥)=√𝑥−2⋅√𝑥+2D.𝑓(𝑥)=𝑥，𝑔(𝑥)=√𝑥33【答案】D【解析】解：𝐴.𝑓(𝑥)=√𝑥2=|𝑥|，𝑔(𝑥)=𝑥，所以两个函数的对应法则不一致，所以A不是同一函数．B.𝑓(𝑥)的定义域为R，而𝑔(𝑥)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，所以定义域不同，所以B不是同一函数．C.由𝑥2−4≥0，解得𝑥≥2或𝑥≤−2，由{𝑥+2≥0𝑥−2≥0，解得𝑥≥2，两个函数的定义域不一致，所以C不是同一函数．D.𝑓(𝑥)的定义域为R，而𝑔(𝑥)的定义域为R，且𝑔(𝑥)=√𝑥33=𝑥，所以定义域和对应法则相同，所以D是同一函数．故选：D．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递増的函数为()A.𝑦=1𝑥B.𝑦=ln𝑥C.𝑦=𝑥3D.𝑦=𝑥2【答案】C【解析】解：由于𝑦=1𝑥在区间(0,+∞)上单调递减，故排除A；由于𝑦=ln𝑥不是奇函数，故排除B；由于𝑦=𝑥3既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递増，故它满足条件；由于𝑦=𝑥2是偶函数，不是奇函数，故排除D，故选：C．由题意利用函数的奇偶性和单调性，得出结论．本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．4.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是()A.如图是棱台B.如图是圆台C.如图是棱锥D.如图不是棱柱【答案】C【解析】解：对于学习A，不是由棱锥截来的，所以A不是棱台，故A错误；对于学习B，上、下两个面不平行，所以不是圆台；对于学习C，是棱锥．对于学习D，前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以D是棱柱．故选：C．利用几何体的结构特征进行分析判断．本题考查几何体的结构特征，解题时要认真审题，注意熟练掌握几何体的基本概念和性质．5.函数𝑦=log𝑎(𝑥+2)+1的图象过定点()A.(1,2)B.(2,1)C.(−2,1)D.(−1,1)【答案】D【解析】解：由函数图象的平移公式，我们可得：将函数𝑦=log𝑎𝑥(𝑎0,𝑎≠1)的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数𝑦=log𝑎(𝑥+2)+1(𝑎0,𝑎≠1)的图象．又∵函数𝑦=log𝑎𝑥(𝑎0,𝑎≠1)的图象恒过(1,0)点，由平移向量公式，易得函数𝑦=log𝑎(𝑥+2)+1(𝑎0,𝑎≠1)的图象恒过(−1,1)点，故选：D．由对数函数恒过定点(1,0)，再根据函数平移变换的公式，结合平移向量公式即可得到到正确结论．本题考查对数函数的单调性与特殊点，记住结论：函数𝑦=log𝑎(𝑥+𝑚)+𝑛(𝑎0,𝑎≠1)的图象恒过(1−𝑚,𝑛)点6.经过点(−1,0)，且与直线𝑥+2𝑦−3=0垂直的直线方程是()A.2𝑥−𝑦+2=0B.2𝑥+𝑦+2=0C.2𝑥−𝑦−2=0D.𝑥−2𝑦+1=0【答案】A【解析】解：∵直线𝑥+2𝑦−3=0的斜率为−12，∴与之垂直的直线斜率为2，∴所求直线方程为𝑦−0=2(𝑥+1)，化为一般式可得2𝑥−𝑦+2=0故选：A．由垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可．本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．7.在四面体𝑃−𝐴𝐵𝐶的四个面中，是直角三角形的面至多有()个．A.0个B.1个C.3个D.4个【答案】D【解析】解：如图，𝑃𝐴⊥底面ABC，△𝐴𝐵𝐶是∠𝐴𝐵𝐶为直角的直角三角形，则四面体𝑃−𝐴𝐵𝐶的四个面中，是直角三角形的面最多，有4个．故选：D．由题意画出图形得答案．本题考查棱锥的结构特征，正确画出图形是关键，是中档题．8.直线𝑥−√3𝑦+1=0的倾斜角为()A.𝜋3B.𝜋6C.2𝜋3D.5𝜋6【答案】B【解析】解：直线𝑥−√3𝑦+1=0的斜率为𝑘=√33，设倾斜角为𝛼，可得tan𝛼=√33，由0≤𝛼𝜋，且𝛼≠𝜋2，可得𝛼=𝜋6，故选：B．求出直线的斜率，由直线的倾斜角与斜率的关系，计算即可得到所求值．本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，考查运算能力，属于基础题．9.函数𝑓(𝑥)=ln(𝑥2+1)的图象大致是()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：∵𝑥2+1≥1，又𝑦=ln𝑥在(0,+∞)单调递增，∴𝑦=ln(𝑥2+1)≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又𝑓(0)=ln(0+1)=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A．∵𝑥2+1≥1，又𝑦=ln𝑥在(0,+∞)单调递增，∴𝑦=ln(𝑥2+1)≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．10.已知函数𝑓(𝑥)是R上的奇函数，且满足𝑓(𝑥+2)=−𝑓(𝑥)，当𝑥∈(0,1]时，𝑓(𝑥)=2𝑥−1，则方程𝑓(𝑥)=log7|𝑥−2|解的个数是()A.8B.7C.6D.5【答案】B【解析】解：函数𝑓(𝑥)是R上的奇函数，𝑓(0)=0，由𝑓(𝑥+2)=−𝑓(𝑥)，可得𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥)，∴𝑓(𝑥)的周期𝑇=4．作出在同一坐标系中画𝑦=2𝑥−1和𝑦=log7|𝑥−2|图象，从图象不难看出，其交点个数7个，故选：B．根据函数𝑓(𝑥)是R上的奇函数，𝑓(0)=0，且满足𝑓(𝑥+2)=−𝑓(𝑥)，求解𝑓(𝑥)的周期𝑇=4，当𝑥∈(0,1]时，𝑓(𝑥)=2𝑥−1，作出图象，𝑓(𝑥)=log7|𝑥−2|解的个数，即为2𝑥−1=log7|𝑥−2|图象的交点个数.数形结合可得答案．本题考查了指数和对数的图象画法和交点个数问题.属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.已知幂函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象过点(2,√2)，则这个函数解析式为______．【答案】𝑦=𝑥12(𝑥≥0)【解析】解：设𝑓(𝑥)=𝑥𝛼，∵幂函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象过点(2,√2)，∴2𝛼=√2∴𝛼=12．这个函数解析式为𝑦=𝑥12(𝑥≥0)．故答案为：𝑦=𝑥12(𝑥≥0)．根据幂函数的概念设𝑓(𝑥)=𝑥𝛼，将点的坐标代入即可求得𝛼值，从而求得函数解析式．本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题．12.已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，直线𝐴𝐵1与𝐷𝐷1所成的角是______，【答案】45∘【解析】解：∵𝐵𝐵1//𝐷𝐷1，∴∠𝐵𝐵1𝐴是直线𝐴𝐵1与𝐷𝐷1所成的角，∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐵1，𝐴𝐵=𝐵𝐵1，∴∠𝐴𝐵1𝐵=45∘，∴直线𝐴𝐵1与𝐷𝐷1所成的角是45∘．故答案为：45∘．由𝐵𝐵1//𝐷𝐷1，得∠𝐵𝐵1𝐴是直线𝐴𝐵1与𝐷𝐷1所成的角，由此能求出直线𝐴𝐵1与𝐷𝐷1所成的角．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.已知△𝐴𝐵𝐶的三个顶点𝐴(1,3)，𝐵(3,1)，𝐶(−1,0)，则△𝐴𝐵𝐶的面积为______．【答案】5【解析】解：由𝐴(1,3)，𝐵(3,1)，设AB的直线方程为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，则{1=3𝑘+𝑏3=𝑘+𝑏，解得：𝑘=−1，𝑏=4．AB的直线方程为𝑥+𝑦−4=0．𝐶(−1,0)到直线AB的距离ℎ=|−1−4|√2=5√2．AB的距离𝑑=√(3−1)2+(3−1)2=2√2．则△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆=12×5√2×2√2=5．故答案为：5．根据𝐴(1,3)，𝐵(3,1)，求出AB的直线方程，和AB的距离，利用点到直线的距离就是AB为底的高，即可得△𝐴𝐵𝐶的面积．本题此解法用了点与直线的性质，两点之间的距离公式.属于基础题．14.已知一个正方形的所有项点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为______，【答案】12𝜋【解析】解：设正方体的棱长为a，球的半径为R，则正方体的表面积为6𝑎2=24，得𝑎=2，所以，2𝑅=√3𝑎=2√3，则𝑅=√3，因此，这个球的表面积为4𝜋𝑅2=12𝜋．故答案为：12𝜋．先由正方体的表面积计算出正方体的棱长a，然后利用2𝑅=√3𝑎求出球体的半径R，最后利用球体的表面积公式可得出答案．本题考查球体的表面积的计算，解本题的关键在于弄清楚正方体的外接球的半径为棱长之间的关系，考查了计算能力，属于中等题．15.已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥−1，若𝑥∈[2,6]，则该函数的最大值为______．【答案】2【解析】解：画出函数𝑓(𝑥)的图象，如图示：，∴函数𝑓(𝑥)在[2,6]递减，∴函数𝑓(𝑥)最大值=𝑓(2)=2，故答案为：2．先求出函数的图象，得到函数的单调性，从而求出函数的最大值．本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的最值问题，是一道基础题．三、解答题（本大题共6小题，共50.0分）16.计算下列各式的值(1)(827)−13−(𝜋−1)0+√214(2)log3√27+lg25−lg4．【答案】解：(1)原式=(23)3×(−13)−1+√(32)2=32−1+32=2．(2)原式=log3332+lg25×4=32−1=12．【解析】(1)利用指数运算法则即可得出；(2)利用对数的运算法则即可得出．本题考查了指数与对数运算法则，属于基础题．17.已知直线𝑙1：𝑥+2𝑦+1=0，𝑙2：−2𝑥+𝑦+2=0，它们相交于点A．(1)判断直线𝑙1和𝑙2是否垂直？请给出理由；(2)求过点A且与直线𝑙3：3𝑥+𝑦+4=0平行的直线方程．【答案】解：(1)直线𝑙1的斜率𝑘1=−12，直线𝑙2的斜率𝑘2=2，∵𝑘1𝑘2=−12×2=−1∴𝑙1⊥𝑙2(2)由方程组{−2𝑥+𝑦+2=0𝑥+2𝑦+1=0解得点A坐标为(35,−45)，直线𝑙3的斜率为−3，所求直线方程为：𝑦−(−45)=−3(𝑥−35)化为一般式得：3𝑥+𝑦−1=0．【解析】(1)先求出两直线的斜率，发现斜率之积等于−1，故可得两直线垂直．(2)先求出交点A的坐标，再根据斜率等于直线𝑙3的斜率，点斜式写出直线的方程，并化为一般式．本题考查判断两直线垂直的方法，当两直线平行时，它们的斜率间的关系；用点斜式求直线方程．18.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2|𝑥|−3．(1)作出函数𝑓(𝑥)的大致图象，并根据图象写出函数𝑓(𝑥)的单调区间；(2)求函数𝑓(𝑥)在[−2,4