第三章第一课：联合分布、联合分布列、联合密度

第三章二维随机变量开课系：理学院统计与金融数学系授课教师：徐林2.4二维随机变量一、多维随机变量1.定义将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一个n维向量(X1,X2,...,Xn)称为n维随机变量。一维随机变量X——R1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称F(x,y)=P{Xx,Yy}为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。二.联合分布函数00,yx00,,,yyxxyx几何意义：分布函数F()表示随机点(X,Y)落在区域中的概率。如图阴影部分：对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1x2，y1y2),则P{x1Xx2，y1Yy2}＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)1x2x3x1y2y3y已知随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y),求(X,Y)落在如图区域G内的概率.答:)],(),(),(),([)],(),(),(),([}),{(2231322113323312yxyxyxFyxFyxyxyxFyxFGYXP分布函数F(x,y)具有如下性质：0),(lim),(yxFFyx1),(lim),(yxFFyx且0),(lim),(yxFyFx0),(lim),(yxFxFy(1)归一性对任意(x,y)R2,0F(x,y)1,(2)单调不减对任意yR,当x1x2时，F(x1,y)F(x2,y)；对任意xR,当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2).);y,x(F)y,x(Flim)y,0x(F0xx00).y,x(F)y,x(Flim)0y,x(F0yy00(3)右连续对任意xR,yR,(4)矩形不等式对于任意(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1x2，y1y2),F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为)]3()][2([),(yarctgCxarctgBAyxF1)求常数A，B，C。2)求P{0X2,0Y3}解:1]2][2[),(CBAF0)]3(][2[),(yarctgCBAyF0]2)][2([),(CxarctgBAxF212ACB161)0,2()3,0()3,2()0,0(}30,20{FFFFYXP三.联合分布列(P60)若二维随机变量(X,Y)只能取至多可列对值(xi,yj),(i,j＝1,2,…)，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，(i,j＝1,2,…)，为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.可记为(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，(i,j＝1,2,…)，XYy1y2…yj…p11p12...P1j...p21p22...P2j...pi1pi2...Pij...........................联合分布律的性质(1)pij0,i,j＝1,2,…；(2)111＝ijijpx1x2xi二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:例2.袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令第二次摸到白球第二次摸到红球第一次摸到白球第一次摸到红球0101YX,求(X,Y)的分布律。XY10101011031031032522}1,1{PPYXP2532}0,1{PYXP2523}1,0{PYXP2523}0,0{PPYXP四.二维连续型随机变量及其密度函数1、定义对于二维随机变量(X,Y)，若存在一个非负函数f(x,y)，使对(x,y)R2，其分布函数xydudvvufyxF,),(),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为(X,Y)～f(x,y)，(x,y)R22、联合密度f(x,y)的性质(p63)(1)非负性：f(x,y)0,(x,y)R2;(2)归一性：);,(),(2yxfyxyxF反之，具有以上两个性质的二元函数f(x,y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。此外，f(x,y)还有下述性质(3)若f(x,y)在(x,y)R2处连续，则有(,)1;fxydxdy－－GdxdyyxfGYXP.),(}),{((4)对于任意平面区域GR2,在具体问题的计算中，要化二重积分为累次积分，及x-型积分或者y-型积分。请看下面的两个例子。次部分内容为第三章重点内容，也是难点，要重点关注，掌握方法。设othersyxyxfYX010,101),(~),(求:P{XY}211}{010xdydxYXP11xy求：(1)常数A；(2)F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2X+3y6内的概率。其它,00,0,),(~),()32(yxAeyxfYXyx例3.设解(1)由归一性6A101032)32()1)(1(6)1,1()2(eedxdyeFyx11－－-(2x+3y)00f(x,y)dxdy=Aedxdy=1(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2X+3y6内的概率。解dxdyeDYXPDyx)32(6}),{(303220)32(6dyedxxyx671e3.两个常用的二维连续型分布(1)二维均匀分布*若二维随机变量(X,Y)的密度函数为则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布。其它，的面积,0),(1),(2RDyxDyxfDGSSGYXP}},{(易见，若（X，Y）在区域D上(内)服从均匀分布，对D内任意区域G，有例4.设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求P{Y2X}；(3)求F(0.5,0.5)1DSothersDyxyxf0),(1),()1(解:4112121GS41211213S41141}2{)2(XYP41)5.0,5.0()3(F}2{XYGH}5.0,5.0{YXH注：在计算与二维连续型随机变量的有关计算时，必须注意两个问题：随机变量的取值范围以及随机变量的密度函数的取值形式。实际上，这也是研究随机变量的基本内容。其中，1、2为实数，10、20、||1，则称(X,Y)服从参数为1,2,1,2,的二维正态分布，可记为),,,,(~),(222121NYX(2)二维正态分布若二维随机变量(X,Y)的密度函数为(P66)22112222212121()()()()22(1)2121(,),21xxyyfxye分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上，对n维随机变量(X1,X2,…,Xn)，F(x1,x2,…,xn)＝P(X1x1,X2x2,…,Xnxn)称为的n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数，或随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布函数。nnnbxabxaxxD,...:,...111DnnndxdxxxfDXXP...),...,x(......1211定义.n维随机变量(X1,X2,...Xn)，如果存在非负的n元函数f(x1,x2,...xn)使对任意的n元立方体定义.若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,...Xn)为n维离散型的，称P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn},(x1,x2,...xn)∈Rn为n维随机变量(X1,X2,...Xn)的联合分布律。则称(X1,X2,...Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,...xn)为(X1,X2,...Xn)的概率密度。多维随机变量离散型分布函数连续型归一性矩形概率归一性归一性P{(X,Y)G}求：（1）P{X0},(2)P{X1},(3)P{Yy0}othersyxeyxfy00),(EX:随机变量（X，Y）的概率密度为xyD答:P{X0}=01101}1{edyedxXPxy000}{000000yydyedxyYPyxyy