对形成数学结构和体系的思考

1对“形成数学结构和体系”的思考方厚良株洲县第五中学，湖南株洲（412100）1问题提出章建跃老师曾感慨地说：“日常教学，概念一个个地教，定理一个个地学，容易迷失在局部，见木不见林.长此以往就会导致坐井观天、思路狭窄、思维呆板，局限于一招一式的雕虫小技而不能自拔.把握好整体性，对内容的系统结构了如指掌，心中有一张‘联络图’，才能把准教学的大方向，才能使教学有的放矢.也只有这样，才能使学生学到结构化的、联系紧密的、迁移能力强的知识.”类似地，张思明老师在“如何整体把握高中数学课程”讲座中指出：……整体把握其实也是一个很重要的学习方法，特别是对于抽象度很高的内容……，要把这种理念变成一种教学，甚至是对学生一种学法的一种影响，告诉学生要学这些东西，要有微观、中观、大观、宏观的这些东西.我们过去可能做的都是微观上的，老师应该是对的，强调的比较多，但是由于学生最后的教学效率卡在这儿，没有宏观的认识，知识没有形成网络，所以也降低了学习效率.正如两位老师所说，高中数学教学专注于微观细节的东西过多，对高中数学的整体观、宏观把握明显不够，教师在数学结构和体系构建方面思考、实践有待大力提高.为改变这种现状，提高教学效益，笔者就“形成数学结构与体系”，谈谈个人的一些思考.2数学结构与体系的内涵首先，我们需要了解结构、体系的内涵，什么是数学结构、数学体系？作为数学科学的数学结构和体系与中学数学教育形态的“形成数学结构与体系”是什么关系？有什么不同？2.1从哲学层面看结构：皮亚杰的结构主义各学科领域都会有各自结构，结构主义属于认识论范畴，结构主义是方法论.皮亚杰在其名著《结构主义》逐个分析和考查了数学、逻辑、物理学、生物学、语言学、社会学、哲学等学科的结构.皮亚杰指出：结构主义的形式繁多，大家说到的种种“结构”的涵义越来越不同.为了回答结构主义的共同特点，将不同的结构（主义）涵义加以比较与综合，皮亚杰给结构（主义）下定义：结构是一个由种种转换规律组成的体系，结构是可以形式化的，总而言之，一个结构包括了三个特性：整体性、转换性和自身调整性.皮亚杰依据结构的上述三种共同要素检验了不同领域中的种种结构主义，最后在书中结论部分得出一般结构主义2的共同性质.特别的，就数学结构主义，皮亚杰强调：如果不从检验数学结构开始，就不可能对结构主义进行批判性的陈述；如果接受在第一章里所提出的结构主义定义，那么最早被认识和研究了的结构，是由伽罗瓦所发现的“群”的结构，并且这个“群”的结构在十九世纪逐步征服了数学这门学科.2.2数学家眼中的数学结构：布尔巴基学派的“数学结构”从数学专业的角度，数学家眼中的数学结构有其历史渊源，其源头是布尔巴基结构主义学派，是这一学派首先引进数学结构的概念，并用这一概念来统一数学.他们认为全部数学基于三种母结构，即代数结构、序结构、拓扑结构，其他结构就通过组合的方式或分化的方式接着产生.布尔巴基学派将结构理解为“表示各种多样的概念的共同特征仅在于它们可以应用到各种元素的集合上，而这些元素的性质并没有专门指定，定义一个结构就是给出这些元素之间的一个或几个关系，人们从给定的关系所满足的条件（它们式结构的公理）建立起某种给定结构的公理理论就等于只从结构的公理出发来推演这些公理的逻辑推论.”正如有人评价，布尔巴基学派认为数学只是研究结构的科学，只对抽象的结构感兴趣而对对象本身究竟是数、是形、是函数还是运算并不关心，所以走过20世纪50-60年代鼎盛期，从70年代开始走下坡路.但正如皮亚杰在文[1]指出的那样：作为方法论，结构主义是开放性的……，如同在数学里布尔巴基学派的结构主义由于有了一种求助于一些更加能动的结构（各种“范畴”及其“函数”的基本维）的运动，已经得到发展.我们更需指出，随着数学科学的发展，数学家眼中的数学结构也是在不断丰富和发展着的.2.3系统论观点下的数学体系系统论是研究系统的一般模式，结构和规律的学问，它研究各种系统的共同特征，用数学方法定量地描述其功能，寻求并确立适用于一切系统的原理、原则和数学模型，是具有逻辑和数学性质的一门科学.通常把系统定义为︰由若干要素以一定结构形式联结构成的具有某种功能的有机整体.系统论创始人贝塔朗菲强调，任何系统都是一个有机的整体，它不是各个部分的机械组合或简单相加，系统的整体功能是各要素在孤立状态下所没有的性质.亚里斯多德的整体大于部分之和的名言说明了系统的整体性.系统强调整体与局部、局部与局部、整体与外部环境之间的有机联系,具有整体性、动态性和目的性三大基本特征.作为一种指导思想,系统论要求把事物当作一个整体或系统来考察。利用系统论思想观点，张永春教授在文[2]探讨了数学课程，指出数学课程具备系统概念内涵所包容的四条基本属性：层次集合性、组织结构性、环境适应性、非加和性，并从宏观、中观和微观三个层次对数学课程进行了结构—功能分析.其中，把一个数学门课程或课程段分解为数学概念子系、数学命题3子系、数学语言符号子系、数学解证方法子系、数学思想子系、例题问题子系六个子系是一创举，对中学数学教学，特别是对“形成数学结构和体系”有很好的指导和借鉴意义.2.4作为数学教育的数学结构和体系皮亚杰结构的三要素，即整体性、转换性和自身调整性对数学结构的理解仍具有重要价值.结构就是具有整体性的若干转换规律组成的一个有自身调整性质的图式体系，再通俗点说，所谓结构，也就是一个整体、一个系统、一个集合.皮亚杰认为运算是形成结构的基础，虽然皮亚杰讲的运算与数学运算有区别，它要宽泛抽象的多，但运算之于数学，对学习数学和认识数学结构显然得天独厚.作为数学教育的数学结构，特别是中小学阶段，可能不太适合以布尔巴基学派的结构主义为指导（历史上曾尝试过这样的数学课程设置和教材编写，美国20世纪70年代的“新数”运动就是一个失败例子），与数学家眼中的数学结构肯定也有非常大的差异.笔者认为要认识作为数学教育的数学结构，应以数学课程标准和教材的精神、说明为依据.目前，高中数学课程标准修订稿尚未正式颁布，从文[3]了解到，高中数学课程结构是按学科体系来界定“模块”，较之实验版的模块设置有了大的改变，其中必修课程包括“准备知识（集合、常用逻辑用语、等量与不等关系等）”，“函数与数列”，“向量与几何”，“统计与概率”；选修1课程包括“函数与导数”，“向量与几何”，“统计与概率”.从中可以看出，这样的划分突出了数学各分支内部的统一性和整体性，体现数学内在的逻辑联系和体系完整，不过分抽象，便于理解，利于教学组织.再以现行使用的人教A版教材为例，在每一章小结部分都配有“本章知识结构”，用框图形式呈现.所以，作为数学教育的数学结构与体系，不同于学术专业上的高深抽象，我们也不必过度深究.结合新一轮数学课程改革，笔者以为，可以从数学知识、数学能力和数学核心素养三个维度去思考数学结构与体系.2.3.1数学知识结构与体系数学课程标准从宏观上给出了高中数学知识结构与体系，教材章节分解，纲举目张，不过主要是“硬件”展示，是显性的，还需特别重视象数学思想子系、数学语言符号子系、数学解证方法子系等“软件”，要主动作为，从形成结构和体系的角度去组织教学。2.3.2数学能力结构与体系前苏联心理学家克鲁切茨基在文[4]对中小学生数学能力结构作了分析，包括获得数学信息、数学信息加工、数学信息保持、一般综合性组成成分等.在我国，数学能力结构与体系研究一直在不断完善和丰富，1962年的大纲提出了运算、空间想象、逻辑推理三大能力；本世纪初的高中数学的课改大纲发展为抽象概括、逻辑推理、空间想象、运算求解、数据处理五大能力，现在，除了这些能力，特别提出发现问题的能力、提出问题的能力、分析问题4的能力、解决问题的能力.2.3.3数学核心素养体系即将颁发的高中数学课程标准（修订稿），在中国学生发展核心素养体系总的指导思想下，结合数学学科特点，提出了数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养.把数学核心素养作为数学结构和体系的重要组成部分是新一轮课改的需要.3如何帮助学生形成数学结构和体系学生学习数学，要形成数学结构与体系当然需要学生主动构建，但也离不开教师的帮助，特别是作为学校中的数学教育，要从教育形态角度去思考如何帮助学生更好地形成数学结构与体系，更好地理解数学，对此，笔者有以下几点思考.3.1以数学核心概念为生长点，形成概念系统正如文[5]所说，数学核心概念在数学课程中的重要性已引起国际数学教育界的普遍关注和研究.在我国，章建跃老师是这方面的专家，主持了多个这个领域的国家和教育部研究课题，如“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”，“中小学数学核心内容及其教学的研究”，“主要国家高中数学教材核心概念、技能及重要思想方法的比较研究”等，研究成果丰硕，可直接用之于教学实践.文[5]指出，核心概念位居数学概念体系的中心点，自我生长能力强，可以产生“柱根相连，柱枝相托，枝叶扩展”的“概念群”.章老师认为，核心概念的组织和呈现，不仅要考虑此概念的发生和形成，还要从整体入手，考虑如何以此概念为中心，形成概念网络的体系和节点.对如何围绕核心概念建立教材的结构体系，章老师给出的建议是：两个角度入手，一是明确以核心概念为中心的“概念图”，包括纵向发展主线和横向联系节点，以形成一个主线明确、联系通道顺畅的网状体系，这是关键；二是要有一个一以贯之的数学教育观念的统领，使教材在内容确定、素材选择、栏目设置、呈现方式等各方面都能为实现相应的数学教育目标而提供恰当的学习方式.文[5]以核心概念“函数”为例进行了分析和研讨，虽然主要侧重点在教材比较，但对核心概念教学，形成概念体系仍具重大借鉴价值：（1）函数概念更具代表性，与之相关的概念众多，例如：常量、变量、运动、变化、集合、对应、关系、映射、模型，以及应用、联系…….（2）以函数概念为“核”的辐射状的教材结构体系，这一体系具有概念联系的紧密性、多向性的特点，成为学生理解数学、应用数学解决问题的一个典型载体.5（3）对函数概念，五国教材的关注点存在显著差异，有的注重数学的抽象化，有的强调图象的直观，有的注重实际应用中体现的模型思想，有的注重函数作为联系代数、几何、统计等各科知识的纽带等等.（4）强调学生的自主探索和知识建构，问题引导和设置各种活动成为了教材普遍采用的方式.这样的一致性实际上是国际数学教育界对加强学生的自主性，提高学习的主动性，增强学习的探究性的认同，也是将自主探索、动手实践、数学阅读、合作交流等数学学习方式落在实处的举措.3.2以数学问题为心脏，构建学生数学能力结构美国当代数学家哈尔莫斯有句名言：问题是数学的心脏.一方面，以“问题”来驱动学生的数学学习，组织学习过程，让问题成为数学学习活动中心，其表现形式主要是精心设计“问题串”；一方面，更是通过问题的探究，问题解决过程学会思维，学会思考，不仅有利于传统的抽象概括、逻辑推理、空间想象、运算求解、数据处理能力培养，更重要的是对新的“四能”（发现问题的能力、提出问题的能力、分析问题的能力、解决问题的能力）培养起到示范作用，正如人教A版主编刘绍学所言“看过问题三百个，不会解题也会问”.3.3注重单元整体教学，为结构而教郭元祥教授在“深度教学：理念与策略”谈到“自我导向学习”“问题导向学习”和“结构导向教学”三大深度教学策略，其中“结构导向教学”是深度教学的基础型策略，注重学习目标的结构性和丰富性，而单元整体教学是抓手，基于为结构而教，把握知识的内在联系性、连续性和整体性，其意义在于蕴涵关键的学科能力表现及其标志性要求，展示学科的核心价值观.数学学科的内在逻辑联系特别显著，体系完整是其先天优势，只是单元教学设计这一形式在一线教学还没引起足够重视，需大力倡导和实践.其中，王尚志教授、张思明老师主持的教材培训，关于单元教学设计有较丰富的、优秀的案例示范，大家可资学习借鉴.3.4突出主线引导，保持结构与体系的连贯一致形成数学结构与体系，从整体性上把握数学，一个重要的工作是搞好数学课程的主线分析，用主线将不同章节、不同内容串起来，一以贯之，主线引导，“顺藤摸