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1新课标数学选修4-5柯西不等式一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bcadRdcbabdacdcba二、二维形式的柯西不等式的变式bdacdcba2222)1(.),,,,,(等号成立时当且仅当bcadRdcbabdacdcba2222)2(.),,,,,(等号成立时当且仅当bcadRdcba.),0,,,()())()(3(2等号成立,时当且仅当bcaddcbabdacdcba三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当kk借用一句革命口号说:有条件要用;没有条件,创造条件也要用。比如说吧,对a^2+b^2+c^2,并不是不等式的形状,但变成(1/3)*(1^2+1^2+1^2)*(a^2+b^2+c^2)就可以用柯西不等式了。【1】、设6),2,1,2(ba,则ba之最小值为________;此时b________。答案:18;)4,2,4(解析:baba∴18ba∴1818baba之最小值为18,此时)4,2,4(2ab【2】设a(1,0,2),b(x,y,z),若x2y2z216,则ab的最大值为。【解】∵a(1,0,2),b(x,y,z)∴a.bx2z由柯西不等式[120(2)2](x2y2z2)(x02z)2516(x2z)245x4545a.b45,故a.b的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a,(,,)bxyz,已知56b,则(1)ab的最大值为多少?(2)此时b?答案:(1)28:(2)(2,4,6)【4】设a、b、c为正数,求4936()()abcabc的最小值。答案:121【5】.设x,y,zR,且满足x2y2z25,则x2y3z之最大值为解(x2y3z)2(x2y2z2)(122232)5.1470∴x2y3z最大值为70【6】设x,y,zR,若x2y2z24,则x2y2z之最小值为时,(x,y,z)解(x2y2z)2(x2y2z2)[12(2)222]4.936∴x2y2z最小值为6,公式法求(x,y,z)此时322)2(26221222zyx∴32x,34y,34z2【7】、设25,,,222zyxzyxR,试求zyx22的最大值与最小值。答:根据柯西不等式)](2)2(1[)221(2222222zyxzyx即259)22(2zyx而有152215zyx故zyx22的最大值为15,最小值为–15。【8】、设622,,,zyxzyxR,试求222zyx之最小值。答案:考虑以下两组向量u=(2,–1,–2)v=(x,y,z)根据柯西不等式222)(vuvu,就有)]()2()1(2[])2()1(2[2222222zyxzyx即)(9)22(2222zyxzyx将622zyx代入其中,得)(936222zyx而有4222zyx故222zyx之最小值为4。【9】设x,y,zR,2x2yz80,则(x1)2(y2)2(z3)2之最小值为解:2x2yz802(x1)2(y2)(z3)9,考虑以下两组向量u=(,,),v=(,,)222)(vuvu[2(x1)2(y2)(z3)]2[(x1)2(y2)2(z3)2].(222212)(x1)2(y2)2(z3)29)9(29【10】设x,y,zR,若332zyx,则222)1(zyx之最小值为________,又此时y________。解:332zyx2x3(y1)z(),考虑以下两组向量u=(,,),v=(,,)解析:1436])1([)332(]1)3(2][)1([2222222222zyxzyxzyx∴最小值7181,233,2(2)3(31)3231xyztxyzttt∴73t∴72y【11】设a,b,c均为正数且abc9,则cba1694之最小值为解:考虑以下两组向量u=(,,),v=(,,)222)(vuvu2)432(ccbbaa(cba1694)(abc)(cba1694).9(234)281cba169498193【12】、设a,b,c均为正数,且232cba,则cba321之最小值为________,此时a________。解:考虑以下两组向量u=(,,),v=(,,)222)(vuvu2222222)321(])3()2()1][()3()2()[(cbacba∴18)321(cba,最小值为18等号发生于vu//故ccbbaa33221∴cba又232cba∴31a【13】、设x,y,zR,若4)2()1(222zyx,则zyx23之范围为何?又zyx23发生最小值时,x?答案:2222222)2233(])2()1(3][)2()1[(zyxzyx1425231425142523142)523()14(42zyxzyxzyx若142523zyx又tzyx21231∴1425)2(2)2()13(3ttt∴714t∴17143x【14】.设x,y,zR且14)3(5)2(16)1(222zyx,求xyz之最大值,最小值。【解】∵14)3(5)2(16)1(222zyx由柯西不等式知[42(5)222]222)23()52()41(zyx...2)52(5)41(4yx2)23(z251(xyz2)25|xyz2|5xyz25∴3xyz7故xyz之最大值为7,最小值为3
本文标题:柯西不等式习题教师版-含答案
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