时间序列分析的基本思想

时间序列分析的基本思想时间序列分析是一种动态数据处理的统计方法。该方法基于随机过程理论和数理统计学方法，研究随机数据序列所遵从的统计规律，以用于解决实际问题。它包括一般统计分析(如自相关分析，谱分析等),统计模型的建立与推断，以及关于时间序列的最优预测、控制与滤波等内容。经典的统计分析都假定数据序列具有独立性，而时间序列分析则侧重研究数据序列的互相依赖关系。后者实际上是对离散指标的随机过程的统计分析，所以又可看作是随机过程统计的一个组成部分。例如，记录了某地区第一个月，第二个月，……，第N个月的降雨量，利用时间序列分析方法，可以对未来各月的雨量进行预报。时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论和方法。它一般采用曲线拟合和参数估计方法（如非线性最小二乘法）进行。时间序列分析常用在国民经济宏观控制、区域综合发展规划、企业经营管理、市场潜量预测、气象预报、水文预报、地震前兆预报、农作物病虫灾害预报、环境污染控制、生态平衡、天文学和海洋学等方面。时间序列的变化大体可分解为以下四种：(1)趋势变化，指现象随时间变化朝着一定方向呈现出持续稳定地上升、下降或平稳的趋势。(2)周期变化（季节变化），指现象受季节性影响，按一固定周期呈现出的周期波动变化。(3)循环变动，指现象按不固定的周期呈现出的波动变化。(4)随机变动，指现象受偶然因素的影响而呈现出的不规则波动。时间序列一般是以上几种变化形式的叠加或组合。时间序列预测方法分为两大类：一类是确定型的时间序列模型方法；确定型时间序列预测方法的基本思想是用一个确定的时间函数来拟合时间序列，不同的变化采取不同的函数形式来描述，不同变化的叠加采用不同的函数叠加来描述。具体可分为趋势预测法、平滑预测法、分解分析法等。另一类是随机型的时间序列分析方法。随机型时间序列分析法的基本思想是通过分析不同时刻变量的相关关系，揭示其相关结构，利用这种相关结构来对时间序列进行预测。2.2平稳性的检验对序列的平稳性有两种检验方法，一种是根据时序图和自相关图显示的特性做出判断的图检验方法；一种是构造检验统计量进行假设检验的方法。图检验方法是一种操作简便、运用广泛的平稳性判别方法，它的缺点是判别结论带有很强的主观色彩。所以最好能通统计检验方法加以辅助判断。所谓时序图就是一个平面二维坐标图，通常横轴表示时间，纵轴表示序列取值。时序图可以直观的帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征。根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界的特点。如果观察序列的时序图显示出该序列有明显的趋势性或周期性，那它通常不是平稳序列。根据这个性质，很多非平稳序列通过查看它的时序图可以立刻被识别出来。ARMA模型的性质ARMA模型的全称是自回归移动平均模型，它是目前最常用的拟合平稳序列模型。它又可以细分为AR模型、MA模型和ARMA模型三大类。AR（p）模型tXaXtpjjtjt,1是一个p阶自回归模型，简称为AR（p）模型。满足AR（p）模型（2-2）的平稳时间序列tX称为平稳解或AR（p）序列。称Tpaaaa),,,(21是AR（p）模型的自回归系数。定义中的AR是Auto-regression的缩写。通常把由（2-1）定义的)(z称为模型（2-2）的特征多项式。利用时间t的向后推移算子可以将AR（p）模型（2-2）改写成tXBtt,)(定义01)(jjjBB则tBXjjtjtt,)(01MA（q）模型tbXqjjtjtt,1（2-7）是q阶滑动平均模型，简称MA（q）模型，而称由（2-7）决定的平稳序列tX是滑动平均序列，简称为MA（q）序列。如果进一步要求多项式)(z在单位圆上也没有零点：10)(zz当，就称（2-7）是可逆的MA（q）模型，称相应的平稳序列是可逆的MA（q）序列。利用时间的向后推移算子B，可将MA（q）模型（2-7）写成：tBXtt,)(（2-8）ARMA（p,q）模型定义设t是),0(2WN，实系数多项式）（和z)(z没有公共根，满足1,0z1,01)(0,1010zzbzzazbabqjjjpjjjqp）（和和（2-12）我们称差分方程tbXaXqjjtjpjjtjt,01（2-13）是一个自回归滑动平均模型，简称ARMA（p,q）模型。称满足(2-13)的平稳序列tX为平稳序列tX为平稳解或ARMA（p,q）序列。利用推移算子可以将(2-13)写成tBXBtt,)()((2-14)2.5平稳序列建模假如某个观察值序列通过序列预处理，可以判定为平稳非白噪声序列，我们就可以利用模型对该序列建模。（1）求出该观察值序列的样本自相关系数（ACF）和样本偏自相关系数（PACF）的值。（2）根据样本自相关系数和偏自相关系数的性质，选择阶数适当的ARMA（p，q）模型进行拟合。（3）估计模型中未知参数的值。（4）检验模型的有效性。如果拟合模型通不过检验，转向步骤（2），重新选择模型再拟合。（5）模型优化。如果拟合模型通过检验，仍然转向步骤（2），充分考虑各种可能，建立多个拟合模型，从所有通过检验的拟合模型中选择最优模型。（6）利用拟合模型，预测序列的将来走势。图2-1建模步骤2.6序列预测到目前为止，我们对观察值序列做了许多工作，包括平稳性判断、白噪声判别、模型选择、参数估计及模型检验。这些工作的最终目的常常就是要利用这个拟合模型对序列的未来发展进行预测。所谓预测就是要利用序列已观测到得样本值对序列在未来某个计算ACF，PACFARMA模型识别估计模型中未知参数的值模型检验预测序列将来的走势模型优化平稳非白噪声序列NY时刻的取值进行估计。目前对平稳序列最常用的预测方法是线性最小方差预测。线性是指预测值为观察值序列的线性函数，最小方差是指预测方差达最小。2.6.1AR（p）序列预测在AR（p）序列场合：)()1(),,(),,()(11111plxlxxxxxExxxElxtptttltpltpltttltt式中0,1),(ˆ)(ˆkxkkxkxkttt预测方差为：22121)1()]([ltGGleVar2.6.2MA(q)序列预测对一个MA（q）序列qtqtttx11而言，有qltqltltltx11在,,1ttxx已知的条件下，求ltx的估计值，就等价于在,,1tt已知的条件下，求ltx的估计值，而未来时刻的随机扰动,,21tt是不可预测的，属于预测误差。所以：当预测步长小于等于MA模型的阶数时ql，ltx可以分解为：)(ˆ)(111111lxlexttqltqtltlltltqltqltltlt当预测步长大于MA模型的阶数时（lq）,ltx可以分解为:)(ˆ)(1111lxlexttqltqltltqltqltltlt即MA（q）序列l步的预测值为：qlqllxiqliiltit,,)(ˆ这说明MA（q）序列理论上只能预测q步之内的序列走势，超过q步预测值恒等于序列均值。这是由MA（q）序列自相关q步截尾的性质决定的。MA（q）序列预测方差为：qlqlleVarqlt,)1(,)1()(2221221212.6.3ARMA（p，q）序列预测在ARMA（p,q）模型场合：qlplxlxqlplxlxxxxxElxtpqiiltitptttqltqltltpltpltt),(ˆ)1(ˆ,)(ˆ)1(ˆ),,()(11111111式中，0,1),(ˆ)(ˆkxkkxkxkttt预测方差为：2212110)()]([ltGGGleVar