高三之求解圆锥曲线离心率取值及范围方法归纳

12012届高三之求解圆锥曲线离心率取值及范围方法归纳（18）一、直接根据题意建立,ac不等关系求解.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m例1：若双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D.(5,+)解析由题意可知2233()()22aaaeacc即331122ee解得2e故选B.练习1椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点分别为MN，，若12MNFF，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．1(0]2，Ｂ．2(0]2，Ｃ．1[1)2，Ｄ．2[1)2，解析由题意得2222acc∴22e故选D.二、借助平面几何关系建立,ac不等关系求解例2：设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是（）A．2(0]2，B．3(0]3，C．2[1)2，D.3[1)3，分析通过题设条件可得22PFc，求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？解析：∵线段1PF的中垂线过点2F，∴22PFc，又点P在右准线上，∴22aPFcc即22accc∴33ca∴313e，故选D.点评建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便.三、利用圆锥曲线相关性质建立,ac不等关系求解.例3：双曲线2222-1xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,分析求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1||PF2|=|PF2|=2a，|PF2|ca即2aca∴3ac所以双曲线离心率的取值范围为13e，故选B.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于ca）则可建立不等关系使问题迎刃而解.练习1已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左，右焦点分别为12,FF,点P在双曲线的右支上，且12||4||PFPF,则此双曲线的离心率e的最大值为：()A43B53C2D732∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1||PF2|=3|PF2|=2a，|PF2|ca即23aca∴53ac所以双曲线离心率的取值范围为513e，故选B.练习2已知1F，2F分别为22221xyab(0,0)ab的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若212PFPF的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A(1,2]B(1,3]C[2,3]D[3,)解析2221222222(2)442448PFaPFaPFaaaaPFPFPF，欲使最小值为8a，需右支上存在一点P，使22PFa，而2PFca即2aca所以13e.例5：已知椭圆22221(0)xyabab右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。解：设P点坐标为（00,xy）,则有2200222200010xyabxaxy消去20y得22232200()0abxaxab若利用求根公式求0x运算复杂，应注意到方程的一个根为a,由根与系数关系知222002222ababaxxabab由00xa得212e例6：椭圆G：22221(0)xyabab的两焦点为12(,0),(,0)FcFc，椭圆上存在点M使120FMFM.求椭圆离心率e的取值范围；解析设22212(,),0MxyFMFMxyc……①将22222bybxa代入①得22222abxa220xa求得212e.点评：22221(0)xyabab中xa，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.四、运用数形结合建立,ac不等关系求解例7：已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）(1,2]（B）(1,2)（C）[2,)（D）(2,)解析欲使过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba，∴ba≥3，即3ba即2223caa∴224ca即2e故选C.五、运用函数思想求解离心率3例8：设1a，则双曲线22221(1)xyaa的离心率e的取值范围是A．)2,2(B.)5,2(C.)5,2(D.)5,2(解析：由题意可知22111()1(1)aeaa∵1a∴1112a∴25e，故选B.六、运用判别式建立不等关系求解离心率例9：在椭圆22221(0)xyabab上有一点M，12,FF是椭圆的两个焦点，若2212MFMFb，求椭圆的离心率.解析:由椭圆的定义，可得212MFMFa又2212MFMFb，所以21,MFMF是方程22220xaxb的两根，由22(2)420ab，可得222ab，即2222()aca所以22cea，所以椭圆离心率的取值范围是2[,1)2例10：设双曲线C：1:)0(1222yxlayax与直线相交于两个不同的点A、B.求双曲线C的离心率e的取值范围：解析由C与l相交于两个不同的点，故知方程组.1,1222yxyax有两个不同的实数解.消去y并整理得（1－a2）x2+2a2x－2a2=0.①所以242210.48(1)0.aaaa解得021.aa且双曲线的离心率22111aeaa021,aa且∴622ee且所以双曲线的离心率取值范围是6(,2)(2,)2总结：在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.巩固练习例1.设，则二次曲线的离心率的取值范围为（）A.B.C.D.（）4解：由，知，故所给的二次曲线是双曲线，由双曲线的离心率e1，排除A、B、C，故选D。2.已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，故选D。3.点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A.B.C.D.解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为则解得则。故选A。5三、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。4.已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.B.C.D.解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为。由焦半径公式，即，得，解得，故选D。5.过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点A，则双曲线的离心率等于_______。（答案：2）6.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。（答案：）