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第五章平面向量第1讲平面向量的概念与运算高考《考试大纲》的要求：①理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.②理解向量的几何表示．③掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义．④掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义．⑤了解平面向量的基本定理及其意义.⑥了解向量线性运算的性质及其几何意义．⑦掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.⑧会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.⑨理解用坐标表示的平面向量共线的条件.⑩理解平面向量数量积的含义及其物理意义.［知识整合］1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有____________又有____________的量叫做向量．(2)表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.用字母…或用…表示．(3)模：向量的大小，也就是向量的长度叫向量的模，记作.(4)零向量：_____________________的向量叫做零向量，记作,零向量的方向是任意的．(5)单位向量：_____________________的向量叫做单位向量．与共线的单位向量.(6)相等向量：_______________________的向量叫相等向量；相等向量有传递性．(7)平行向量：_______________________的非零向量叫平行向量，又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：与任一向量平行．①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；2．向量的加法运算及其几何意义⑴已知非零向量，，在平面内任取一点，作=，=，则向量叫做与的和，记作＋，即＋=+=，这种求向量和的方法叫做向量加法的_____________________.⑵以同一点O为起点的两个已知向量，为邻边作平行四边形，则以为起点的对角线就是与的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的____________________________.⑶加法运算律＋＝＋(交换律)；(＋)＋＝＋(＋)(结合律)．3．向量的减法及其几何意义(1)相反向量与____________________________的向量，叫做的相反向量，记作________．(2)向量的减法①定义－＝＋(－)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．②如图，＝，，＝，则＝＋，＝－.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：①||＝______________；②当时，与的方向__________；当0时，与的方向__________；当＝0时，＝__________.(2)运算律设，是两个实数，则①()＝().(结合律)②(＋)＝＋.(第一分配律)③(＋)＝＋.(第二分配律)5．重要结论＝31(＋＋)⇔为的重心；＋＋＝0⇔为的重心．6.共线向量定理向量与()共线的充要条件是存在唯一一个实数，使＝.7．平面向量基本定理定理：如果，是同一平面内的两个______________向量，那么对于这一平面内的任意向量，______________一对实数，，使＝_____________________..其中，_____________________.叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.8.夹角⑴已知两个非零向量和，作＝，＝，则＝叫做向量与的夹角．⑵向量夹角的范围是_____________，与同向时，夹角＝；与反向时，夹角＝.⑶如果向量与的夹角是，我们说与垂直，记作．9．平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个_____________的向量，叫做把向量正交分解．10．平面向量的坐标表示：①在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数，使＝＋，我们把有序数对_____________叫做向量的坐标，记作＝_____________，其中_____叫在x轴上的坐标，_______叫在y轴上的坐标．②设＝x＋y，则向量的坐标(x，y)就是终点(x，y)的坐标，即若＝(x，y)，则点坐标为(x，y)，反之亦成立.(是坐标原点)11．平面向量的坐标运算⑴向量加法、减法、数乘向量及向量的模已知向量＝(，)，＝(，)和实数，那么＋＝________________，－＝_________________，＝_______________,||＝________________.⑵向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.已知（），（），则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．则||＝_____________________12．若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)(≠0)，则∥的充要条件是_____________________．13．⑴P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2的中点P的坐标为_____________________.⑵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则△P1P2P3的重心P的坐标为_____________________．［典例分析］例1①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量与向量平行，则与的方向相同或相反；③向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；④如果∥，∥，那么∥.⑤＝的充要条件是||＝||且∥.以上命题中正确的个数为()A．1B．2C．3D．0解析：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若与中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如果＝0时，则与不一定平行．故应选D变式训练(1)下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①||＝||则＝；②若＝，＝，则＝；③||＝0则＝；④若＝，则＝；⑤若＝0，则＝0；⑥若A、B、C、D是不共线的四点，且→AB＝→DC，则四边形ABCD是平行四边形．⑦若将所有的单位向量都平移到同一个起点，则它们的终点在同一个单位圆上．⑧若，则解析①模相同，方向不一定相同，故①不正确；②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确；③只有零向量的模才为0，故③正确；⑥④→AB＝→DC，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故④⑥正确．⑤实数与向量的积是一个向量，=,故⑤不正确.⑧平行向量无传递性,故⑧不正确.故应选②③④⑥⑦.(2)判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.(1)若向量与同向，且||||，则；(2)若||＝||，则与的长度相等且方向相同或相反；(3)若||＝||，且与方向相同，则＝；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量与向量平行，则向量与的方向相同或相反；(6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(7)任一向量与它的相反向量不相等.解析：(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的.(7)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.例2在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设→AB＝，→AC＝，试用，表示→AD，→AG.解→AD＝21(→AB＋→AC)＝21＋21；→AG＝→AB＋→BG＝→AB＋32→BE＝→AB＋＝31→AB＋31→AC＝31＋31.变式训练如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知→AB＝，→AD＝，→DC＝，试用、、表示→BC，→MN，→DN＋→CN.解→BC＝→BA＋→AD＋→DC=-++=++=+=++=-2-例3设两个非零向量与不共线(1)若→AB＝＋，→BC＝2＋8，→CD＝3(－)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使k＋和＋k共线.(1)证明∵→AB＝＋，→BC＝2＋8，→CD＝3(－)，∴→BD＝→BC＋→CD＝2＋8＋3(－)＝2＋8＋3－3＝5(＋)＝5→AB.∴→AB、→BD共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线.(2)解∵k＋与＋k共线，∴存在实数λ，使k＋＝λ(＋k)＝λ＋λk.∴(k－λ)＝(λk－1).∵、是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1..变式训练(1)设两个非零向量和不共线．①如果→AB＝－，→BC＝3＋2，→CD＝－8－2，求证：A、C、D三点共线；②如果→AB＝＋，→BC＝2－3，→CD＝2－k，且A、C、D三点共线，求k的值．（1）证明∵→AB＝－，→BC＝3＋2，→CD＝－8－2，∴→AC＝→AB＋→BC＝－＋3＋2＝4＋＝（－8－2)＝→CD．∴→AC与→CD共线．又∵→AC与→CD有公共点C，∴A、C、D三点共线．（2）→AC＝→AB＋→BC＝（＋)＋（2－3)＝3－2，∵A、C、D三点共线，∴→AC与→CD共线．从而存在实数λ使得→AC＝λ→CD即3－2＝λ(2－k)．由平面向量的基本定理得－2＝－λk.3＝2λ，解之，得.4∴k的值为34.（2）如图所示，△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝31AC，在AB上取一点M，使得AM＝31AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝21BN，在CM的延长线上取点Q，使得→MQ＝λ→CM时，→AP＝→QA，试确定λ的值.解:∵→AP＝→NP－→NA＝21(→BN－→CN)＝21(→BN＋→NC)＝21→BC，→QA＝→MA－→MQ＝21→BM＋λ→MC，又∵→AP＝→QA，∴21→BM＋λ→MC＝21→BC，即λ→MC＝21→MC，∴λ＝21.(3)如图所示，平行四边形ABCD中，→AD＝，→AB＝，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线.证明：在中，=-，因为=，=N点是BD的三等分点，==(-)=M为AB的中点，==由共线向量定理知：→CM∥→CN，又∵→CM与→CN有公共点C，∴M、N、C三点共线．(4)如图所示，在△ABO中，→OC＝41→OA，→OD＝21→OB，AD与BC相交于点M，设→OA＝，→OB＝试用和表示向量→OM.解设→OM＝m＋n，则→AM＝→OM－→OA＝m＋n－＝(m－1)＋n→AD＝→OD－→OA＝21→OB－→OA＝－＋21.又∵A、M、D三点共线，∴→AM与→AD共线.∴存在实数t，使得→AM＝t→AD，即(m－1)＋n＝t.∴(m－1)＋n＝－t＋21t.∴2t，消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①又∵→CM＝→OM－→OC＝m＋n－41＝＋n，→CB＝→OB－→OC＝－41＝－41＋.又∵C、M、B三点共线，∴→CM与→CB共线.∴存在实数t1，使得→CM＝t1→CB，∴＋n＝t1，∴n＝t1t1，消去t1得，4m＋n＝1.②由①②得m＝71，n＝73，∴→OM＝71＋73例4（1）如图，平面内有三个向量→OA、→OB、→OC，其中→OA与→OB的夹角为120°，→OA与→OC的夹角为30°，且|→OA|＝|→OB|＝1，|→OC|＝2，若→OC＝λ→OA＋μ→OB(λ、μ∈R)，则λ＋μ的值为________．解析如右图，→OC＝→OE+＝λ→OA＋μ→OB在△OCE中，∠COE＝30°，∠OCD＝∠COB＝90°，可求|→OE|＝4，同理可求||＝2，∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6.（2）在△ABC中，→AD＝41→AB，DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图，设→AB