(完整版)初三二次函数值问题和给定范围最值

1二次函数中的最值问题重难点复习一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.二次函数2yaxbxc用配方法可化成：2()yaxhk的形式khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是hx.abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.二次函数常用来解决最值问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。自变量x取任意实数时的最值情况（1）当0a时，函数在2bxa处取得最小值244acba，无最大值；（2）当0a时，函数在2bxa处取得最大值244acba，无最小值．（3）二次函数最大值或最小值的求法．第一步：确定a的符号，0a有最小值，0a有最大值；第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．2.自变量x在某一范围内的最值．如：2yaxbxc在mxn（其中mn）的最值．第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：02bxxa；第二步：讨论：[1]若0a时求最小值（或0a时求最大值），需分三种情况讨论：(以0a时求最小值为例)①对称轴小于m即0xm，即对称轴在mxn的左侧，在xm处取最小值2minyambmc；②对称轴0mxn，即对称轴在mxn的内部，在0xx处取最小值2min00yaxbxc；③对称轴大于n即0xn，即对称轴在mxn的右侧，在xn处取最小值2minyanbnc.[2]若0a时求最大值（或0a时求最小值），需分两种情况讨论：(以0a时求最小值为例)①对称轴02mnx，即对称轴在mxn的中点的左侧，在xn处取最大值2maxyanbnc；②对称轴02mnx，即对称轴在mxn的中点的右侧，在xm处取最大值2maxyambmc2小结：对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a0时))((212)())((212)()(21max如图如图，，nmabnfnmabmfxf)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf当a0时)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxffxfmbamnfnbamn()()()()()()()min，，如图如图212212910另法：2(0)yaxbxca当mxn（其中mn）的最值：求出函数的对称轴02bxxa，在以后的数学学习中①若0mxn，则分别求出0,,mxn处的函数值()fm，0()fx，()fn，则三函数值最大者即最大值，最小者即为最小值；②若00xmxn或时，则求出,mn处的函数值()fm，()fn，则两函数值中大者即为最大值，最小者即为最小值。3基础巩固:将下列函数写成顶点式,并写出对称轴和顶点坐标:(1)2245yxx；(2)(1)(2)yxx(3)2235yxx(4)y12xx(5)242xxy(6)241yaxax例1.求下列函数的最大值或最小值．（1）5322xxy；（2）432xxy．（3）2241yxax（4）22yaxx(5)2846yxx例1（1）最小值为498无最大值；（2）最大值为254，无最小值.练习:求下列函数的最大值或最小值(1)241yxx(2)224yxx(3)22yxax(4)224yaxxa(5)224yxx的最小值是_________.例2.、如图，抛物线22yxxp与直线xy交于点A（-1，m）、B（4，n），点M是抛物线上的一个动点，连接OM（1）求m，n，p。（2）当M为抛物线的顶点时，求M坐标和⊿OMB的面积；（3）当点M在直线AB的下方且在抛物线对称轴的右侧，M运动到何处时，⊿OMB的面积最大。4练习：1．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，且二次函数的最小值为﹣4，（1）求二次函数的解析式；（2）若M（m，n）（0＜m＜3）为此抛物线上的一个动点，连接MC、MB，试求当m为何值时，△MBC的面积最大？并求出这个最大值考点：二次函数综合题．1904127专题：代数几何综合题．分析：（1）根据点A、B的坐标求出对称轴解析式，从而得到顶点坐标，然后设顶点式解析式，把点A的坐标代入计算即可得解；（2）根据点B、C的坐标求出OB、OC的长度，利用勾股定理求出BC，再求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于BC的直线与抛物线只有一个交点时△MBC的面积最大，再根据平行直线的解析式的k值相等设出平行线的解析式，然后与抛物线联立消掉y得到关于x的一元二次方程，然后利用根的判别式△=0求出直线的解析式，再根据等腰直角三角形的性质求出点M到BC的距离，然后求解即可；（3）根据抛物线的解析式设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），根据抛物线的对称性以及点P在点Q的左侧，表示出EF=2（1﹣x），然后根据正方形的四条边都相等列式，再分①x＜﹣1时点P的纵坐标是正数，②﹣1＜x＜1时，点P的纵坐标是负数两种情况去掉绝对值号，解方程求解即可．解答：解：（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）不难求出，直线BC的解析式为y=x﹣3，S△MBC=×3×=；2．已知：如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3BO．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；．5解答：解：（1）∴抛物线的解析式为：（2分）（2）∴AC的解析式为：（3分）∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC==设，当x=﹣2时，DM有最大值3此时四边形ABCD面积有最大值例3.(1)当14x时，求函数241yxx的最大值和最小值．(2)当12x时，求函数21yxx的最大值和最小值．例2.(2)当1x时，min1y，当2x时，max5y巩固练习(1)函数2241yxx在区间30x上的最大值是_______，最小值是_______.（2）已知302x，求函数fxxx()21的最值.最小值为1，最大值为194(3)函数2331yxx在区间10x上的最大值是_______，最小值是_______.（4）函数yxx242在区间03x上的最大值是_______，最小值是_______.2，-2(5)03x,求函数(2)yxx的取值范围．(6)函数2yxxa在区间31x上的最大值是_______，最小值是_______.(a为常数)例4.已知关于x的函数222yxax在55x上．(1)当1a时，求函数的最大值和最小值；(2)当a为实数时，求函数的最值．(1)当1x时，min1y；当5x时，max37y．(2)当0a时，max2710ya；当0a时，max2710ya练习：求关于x的二次函数221yxtx在11x上的最值(t为常数)．【课后作业】61.抛物线2(4)23yxmxm，当m=时，图象的对称轴是y轴；当m=时，图象的顶点在x轴上；当m=时，图象过原点．414或2，322．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________．216l3．求下列二次函数的最值：(1)2245yxx；(2)(1)(2)yxx．(1)有最小值3，无最大值；(2)有最大值94，无最小值．4．求二次函数2235yxx在22x上的最大值和最小值，并求对应的x的值．当34x时，min318y；当2x时，max19y．5．函数y12xx在区间11x上的最小值和最大值分别是（）B)(A1,3)(B3,34（C）1,32（D）1,346．函数242xxy在区间14x上的最小值是（）C)(A7)(B4)(C2)(D27．函数5482xxy的最值为（）B)(A最大值为8，最小值为0)(B不存在最小值，最大值为8（C）最小值为0,不存在最大值)(D不存在最小值，也不存在最大值8.已知二次函数mxxy62的最小值为1，那么m的值为.109．对于函数2243yxx，当0x时，求y的取值范围．5y10．求函数23532yxx的最小值．当56x时，min336y；当23x或1时，max3y．11.已知关于x的函数222yxax在55x上．(1)当1a时，求函数的最大值和最小值；2)当a为常数时，求函数的最大值．.(1)当1x时，min1y；当5x时，max37y．(2)当0a时，max2710ya；当0a时，max2710ya．12．已知关于x的函数22(21)1yxtxt，当t取何值时，y的最小值为0？当54t时，min0y．13．求关于x的二次函数221yxtx在11x上的最大值(t为常数)．13．当0t时，max22yt，此时1x；当0t时，max22yt，此时1x．