现代控制理论试卷------答案与解析

现代控制理论试卷作业一．图为R-L-C电路，设u为控制量，电感L上的支路电流11121222121212010YxURRRRYxRRRRRR和电容C上的电压2x为状态变量，电容C上的电压2x为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考方向）。解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。以电感L上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,Lcixux，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：22210RCxxLx1121()0RxCxLxu从上述两式可解出1x，2x，即可得到状态空间表达式如下：121121212()()RRxRRLRxRRC121121221212()()11()()RRxRRLRRLuxRRCRRC21yy=211212110RRRRRRR21xx+uRRR2120二、考虑下列系统：（a）给出这个系统状态变量的实现；（b）可以选出参数K（或a）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。解：（a）模拟结构图如下：13123312312321332133xukxxxukxxxxaxyxx则可得系统的状态空间表达式：123xxx30230013123110xkkxuax23y131230xxx（b）因为3023A0013kka110b3023Ab0013kka13100123023Ab0013kka30192kkaMbAb2110Ab30191020kka01031ka所以：当1a时，该系统不能控；当1a时，该系统能控。又因为：23C13023CA13030230013kka20k22CA0k30230013kka623k3k2kak2CNCACA232623k1303k023226kkak010001ak（）所以：当0k或1a时，该系统不能观；当0k且1a时，该系统能观。综上可知：当1a时或0k且1a时，该系统既不能控也不能观。三、已知系统.Axx的状态转移矩阵为：tttttAtetteteetee2222)21(04)21(000（1）试确定矩阵A，并验证Ate确为上式。（2）已知A求Ate，以下采用三种方法计算Ate，并对计算结果进行讨论。解：（1）利用书上P53状态转移矩阵的性质四：对于状态转移矩阵，有AttAt)()()(即AeAeedtdAtAtAt当t=0时I)0(I)0(10104400014)12(0)84()44(000)()0(022220tttttttteteteteetA验证Ate：（利用P59的公式（2-24）来验证）2)2)(1(10440001AI解得：221，13，有一对复根，重根部分按公式（2-24）处理，非重根部分的ia仍按公式（2-23）计算。ttttttttteeteeeteeeteaaa222211233211121011144343211142141011210311且2210AaAaIaeAt所以：Atet)(ttttttttttttttetteteeteeeteeeteeete2222222222)21(04)21(00044016120001)(010440001)443(100010001)432(四、有两个能控能观的单输入—单输出系统：1S：111104310uxx1112xy2S：2222Uxx22xy（1）按图把1S、2S串联，针对12xxx推导状态方程。（2）判断以上系统的能控性和能观性。（3）把串联系统的连接顺序颠倒过来，再推算系统的状态方程及能控、能观性。（4）求1S、2S及串联系统的传递函数矩阵，并对（2）和（3）讨论。解：（1）11111uBxAx111xCy11222122222222xCBxAYBxAuBxAx所以221122xAxCBx222xCy因而uBxxACBAxx00121212121得状态方程:uxx010212043010（2）A=212043010b=010141010212043010Ab41941412120430102bA所以bMAb0102bA1110104194041019432)(Mrank所以该系统不能控。100C212212043010100CA4412120430102122CA所以4412121002ACCACN3)(Nrank所以该系统是能观的。（3）uBxAx2222222xCy2211111111xCBxAuBxAx111xCy所以uxuBxACBAx1002001430100022211210100200143010Ab4612102001430102bA所以4216101002bAAbbM3)(Mrank所以此时该系统能控。012C123200143010012CA41162001430101232CA而00027001241161230122CACACN32)(Nrank所以此时该系统不能观。（4）1043112)()()()(11111ssdBAsICsUsYsw10314341122ssss=10314123412ssss3422sss21)()()(222ssUsYsw当1S、2S按照（2）的连接方式串联时，341)()()(221ssswswsw当1S、2S按照（2）的连接方式串联时，341)()()(212ssswswsw由上边的传递函数结果可知，当子系统串联时，颠倒其先后次序，虽然传递函数相同，但系统的能控性、能观性则不一定相同。五、试求下列系统的能控性分解及能观性分解：101x412buAxux1003011y1cxx1解：（a）能控性分解：121010143A，001b301100341010121Ab8043013410101212bA所以8310004102bAAbbM2)(Mrank，故该系统不能控。构造非奇异矩阵010001130CR，所以0100011031CRbuRARRxCCC11~ux100010001103~031100010341010121010001103ux001~100241240xxy~111~031100010111（b）能观性分解：111C232341010121111CA47481440104801112CA所以4742321112ACCACN32)(Nrank所以该系统不能观。构造非奇异矩阵：1004741111CR，所以1000313413137CRbuRARRxCCC11~ux100100474111~1000313413137341010121100474111ux141~2130373403132xxy~001~1000313413137111六、试用李雅普诺夫第二法，判断下列系统的稳定性。（1）xx1110（2）系统结构图如下，对结果进行讨论，采取什么措施可使系统稳定？解：21xx212xxx原点ex=0是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即0)(2221xxxv222122122112)(2222)(xxxxxxxxxxxv当01x，02x时，0)(xv；当01x，02x时，0)(xv，因此)(xv为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。另选一个李雅普诺夫函数，例如：22212212)(21)(xxxxxv=1x2x211212123xx为正定，而)(2))(()(222122112121xxxxxxxxxxxv为负定的，且当x，有)(xV。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。（2）闭（3）环系统的状态方程为uxx