变分原理

第八章变分原理一、泛函分析中的一些概念在变分原理及有限元等数值方法中,要涉及到泛函分析中的一些概念。虽然有些概念在应用某数值方法求解问题时，并非必需，但是掌握它们对于深入研究数值法的理论，阅读有关文献专著，却有很大的益处。本节将根据需要，对某些概念作一简单介绍。（一）空间Hilbert在引进空间的概念之前，我们先对线性空间等概念作简单回顾。Hilbert1.线性空间定义1设是某些元素的集合，是实数（或复数）域。如果对中任何元素，定义了一种所谓“加法”运算及与的“数乘”运算，使属于，且具有性质：HKH,xyxyaKxHax,xyaxHxyyx（1）；（2）；xyzxyz（3）存在所谓“零元素”，使H,;xxxH（4）对任何，都有一个相应的“逆元素”，使；xHxHxx（5）；,,,xxKxH（6）；1,xxxH（7）；,,,xxxKxH（8），,,,xyxyKxyH则称是实数（或复数）域上的线性空间。H例1定义在上的一切连续函数的全体记作；若对任意两个元素，定义,abC,fgC,[,]fgxfxgxxab,,[,]fxfxKxab则空间是实线性空间，记作C,Cab例2考虑有限空间（或区域）上平方可积函数，即使,abfx22bafxdxfxdx或(1.1)成立的函数类，记作（或），对于，显然均属于，且满足性质（1）——（8），故（或）空间是线性空间。2,Lab2L2,,fgLab,affg2,Lab2,Lab2L设为实数域上的线性空间，中的元素被认为是线性无关的，是指它们的线性组合HKH12,,nxxx11220nnxxx只有当所有的实数都等于零才成立；否则就是线性相关。jK可以证明，如果元素组线性相关，则其中至少有一个元素是其余元素的线性组合。nxix11111iiiiinnxxxxx任何含零元素的元素组都是线性相关的。如果实数域上的线性空间中有一组线性无关的元素，且中任一元素，都可以表成它们的线性组合，即KH12,,nxxxHx1122nnxxxx(1.2)则称是的一组基底，其中称为基元素，实系数称为元素在这组基底下的坐标或投影。12,,nxxxH1,,kxkn1,,kknx如果中的基元素个数是有限的，则称是有限维线性空间，否则称为无限维线性空间，有限维线性空间中基元素的个数称为的维数。HHHH2．线性赋范空间定义2设为实线性空间，如果对中每一个元素，都可以赋一个与相应的非负实数，且满足条件：HHxxx（1），当且仅当时，，0x0x0x（2），,xxK（3），xyxy则称为线性赋范空间，称为的范数或模。Hxx例3在前面已经讲过，对任意都可规定范数,xxtCabmaxaxbxxt显然线性空间是线性赋范空间，,Cab例4对于，规定范数2,fLab122baffxdx它显然满足条件（1）——（3），故是一线性赋范空间。2,Lab通常，对线性赋范空间的任意二元素，称的范数为元素间的距离，记作，至此，我们可以看出，在第二章所讲述的最佳逼近问题是在线性赋范空间上的逼近问题。,xyxyxy,xy,dxy3．内积空间对内积的概念，我们并不陌生，这里，对于一般抽象空间，我们按下列定义引进内积。定义3设为实线性空间，若对，恰有一实数和它对应，满足H,xyH,xy（1）,当且仅当时,;,0xy0x,0xy,,,xyzxzyz（2）;（3）;,,axyaxy（4）,,,xyyx则称为与和内积，而称为内积空间。,xyxyH我们知道，在内积空间中，可定义的范数，x,xxx因此所有的内积空间都是线性赋范空间。显然，在前面所阐述的正交概念，就是在内积空间上而引进的。例5对于维向量空间，定义加法和数乘运算：nnR1122,,,,nnxy1,,,nx的内积定义为,xy1,niijxy可证它满足内积公理，故为内积空间。nR例6对于，定义内积2,,fgLab,bafgfgdx显然，它满足内积公理，故是内积空间。2,Lab4．收敛性、完备性设是线性赋范空间，是中的点列。HnxH定义4如果对，存在正数，使当时，有0NnN0nxx则称为点列的极限，记为0xnx0limnnxx或0nxxn此时说点列收敛于一点。nx0xH可以证明，收敛点列的极限必是唯一的，而且收敛点列满足所谓条件：对，存在，使当时，有Cauchy0N,nmNnmxx通常，我们把满足条件的点列叫做基本列。可见，收敛点列必为基本列。Cauchy特别指出，对实数域而言，一个极其重要的性质是上述命题反之亦然；即凡基本列必收敛，这叫做实数域的完备性。容易验证，内积空间也具有这种完备性，但是，并不是所有内积空间都是完备的。2,Lab定义5若线性赋范空间的每个基本列都在中有极限存在，则称是完备的，完备的内积空间称为空间。完备的线性赋范空间称为空间。HHHHilbertBanach由此定义可知，是空间。2,LabBanach显然，空间是一个具有内积运算的空间，它具有较空间更丰富的性质。HilbertBanachBanach设是内积空间的子集（记作），如果对任何，恒有，使，即中的任一点都能以中的点列来任意逼近，则称在中稠密，或称是的一个稠密子集，可以证明，任何一个不完备的内积空间，总可以将它完备化，使之成为一个空间，详言之，有SHSHxHnxSnxxHSSHSHHilbert定理1任何内积空间均可由添加新元素的办法而作成一个空间，且使为的稠密子集。HHilbertHHH证明略。以后，若不加说明，均把空间认为是完备了的内积空间，即空间，简称空间。HHilbertH（一）算子的概念LDD定义6设和为线性赋范空间的子集，若和建立了某种一一对应关系，即中任一元素对应于中的一个元素，则称为算子，算子所作用的集合，称为算子的定义域，记作；而中的元素被算子作用后所生成的元素集合，称为算子的值域，记为。DHDDDuDLuLLDLDLLLR例如（1）微分算子：222duDudx是所有二次可微函数的集合，是微分后生成的函数集合。LDLR（2）算子：Laplace222222uuuuxyz是所有二次可微函数的集合，是微分后生成的函数集合。LDLR如果对任意的，算子具有性质12,LuuDL(1)可加性：1212LuuLuLu(2)齐次性：,LuLuK则称为线性算子。L显然，算子是线性算子，线性代数方程组所对应的系数矩阵也是线性算子。而LaplaceA2,duduLuuLuuCdxdx都是非线性算子。如果对任意，，算子满足条件uLvDL,,LuvuLv(1.3)则称为对称算子。L例如，齐次边界条件的算子Laplace2222,,00uuuxyxyuun或是对称算子，因为由公式可以推出Green,,uvuv如果对任意，存在一个常数，使得线性算子满足条件LuD02,Luuu(1.4)则称算子是正定算子，其中L,uuuSobolev（三）空间空间是研究微分方程理论的基础之一，一般来说，边值问题的解（广义解）所属的函数空间就是空间，这里我们只介绍一些空间的最基本概念和性质。SobolevSobolevSobolev1．广义导数在研究环境污染、矿产预测等许问题中，常常会遇到许多函数并不处处可微，为了使得到的数学模型有解，需要进一步扩充函数类。用表示无穷次可微，且在端点的领域内等于0的函数类。0,Cab,ab,ab若函数，则对，由分部积分法有1,uxCab0,vxCabbbaauvdxuvdx(1.5)据此公式，我们来推广导数的概念。定义7设，若存在，使等式2,fxLab2,gxLabbbaagxvxdxfxvxdx(1.6)0[,]vxCab恒成立，则称为的广义导数，记为gxfxdffxgxdx由定义可知，本义导数必为广义导数，但相反的结论则不一定成立。例7在通常意义下有导数，同样，对任意，也有2fxx0,vxCab222bbbaaaxvxdxxvxxvxdx即22bbaaxvxdxxvxdx故也是的广义导数。2x2fxx例8在通常意义下于不可微，但对，有，fxx1,101,1vxC101110xvxdxxvxdxxvxdx011101vdxvxdxgxvxdx其中1,10,1,01xgxx据定义7可知，就是的广义导数。gxfxx定义8设，如果存在，使对，有2,fxLab2,hxLab0,vxCab1nbbnnaadvhxvxdxfxdxdx(1.7)成立，则称为的阶广义导数，记作hxfxnnnndfxfxhxdx以上我们仅就一维区域介绍了广义导数的概念，实际上，可将这一概念平行地推广到多维区域。用表示于有无穷次可微且具有紧致支集的函类。0CGGu假定是由按段光滑的简单闭曲线所围成的有界平面区域，是的闭包。对于上的任一函数，称集合的闭包为的支集，如果的支集，则说于具有紧致支集。容易证明，具有紧致支集的函数必在上的某一邻域内恒等于零。GGGG,uxy,,0,,xyuxyxyGuGGGu若对函数，则对应用公式，有1,uxyCG0,vxyCGGreen,,GGGGuuvdxdyudxdyxxuuvdxdyudxdyyy(1.8)由此就可推广偏导数的概念。定义9设，若对，存在使等式2,fxyLG0,vxyCG()()()2,,,gxyxyLGyÎ,GGugvdxdyfxydxdyx,GGuvdxdyfxydxdyy成立，则说有对的一阶广义导数和对的一阶广义导数，记作fxgyy,xyfffgfaxy类似地可以定义高阶广义（偏）导数。可以证明，同一个函数的广义（偏）导数并不唯一，但不同的广义（偏）导数几乎处处相等。所谓几乎处处相等，是指在区间（或区域）上除有限个孤立点（或有限条线段）不等，其它地方相等。其证明基于下列变分法基本引理：引理1设（或），若对，有0,fxCab2,fxLab0,vxCab0bafxvxdx则（或几乎处处为零）0fxfx证明只考虑的情况，假设，不妨设，则由连续性，必在充分小的邻域内也大于。取0,fxCab0fx000,fxxabfx00axxxnb022100exp[],,0,xxxxvx在别处,则，且0,vxCab002210exp[]0bxaxfxvxdxfxxxdx此于假设矛盾，故。0fx引理2设（或），若