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1专题能力训练6函数与方程及函数的应用专题能力训练第18页一、能力突破训练1.f(x)=-+log2x的一个零点落在下列哪个区间()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案:B解析:由题意,得f(x)单调递增,f(1)=-10,f(2)=0,所以f(x)=-+log2x的零点落在区间(1,2)内.2.设函数f(x)的零点为x1,函数g(x)=4x+2x-2的零点为x2.若|x1-x2|,则f(x)可以是()A.f(x)=2x-B.f(x)=-x2+x-C.f(x)=1-10xD.f(x)=ln(8x-2)答案:C解析:依题意得g()√-20,g()=10,则x2()若f(x)=1-10x,则有x1=0,此时|x1-x2|,故选C.3.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=sinx+x的零点依次为x1,x2,x3,则下列结论正确的是()A.x1x2x3B.x1x3x2C.x3x1x2D.x2x3x1答案:B解析:在同一平面直角坐标系中画出y=3x,y=log3x,y=sinx与y=-x的图象,如图所示,可知x10,x20,x3=0,则x1x3x2.4.已知M是函数f(x)=e-2|x-1|+2sin[(-)]在区间[-3,5]上的所有零点之和,则M的值为()A.4B.6C.8D.102答案:C解析:因为f(x)=e-2|x-1|+2sin[(-)]=e-2|x-1|-2cosπx,所以f(x)=f(2-x).因为f(1)≠0,所以函数零点有偶数个,且两两关于直线x=1对称.当x∈[1,5]时,函数y=e-2(x-1)∈(0,1],且单调递减;函数y=2cosπx∈[-2,2],且在区间[1,5]上有两个周期,因此当x∈[1,5]时,函数y=e-2(x-1)与y=2cosπx有4个不同的交点;从而所有零点之和为4×2=8,故选C.5.已知函数f(x)=ex+2(x0)与g(x)=ln(x+a)+2的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是()A(-)B.(-∞,e)C(-)D(-)答案:B解析:由题意,得方程f(-)-g()=0在区间(0,+∞)内有解,即e-x+2-ln(x+a)-2=0在区间(0,+∞)内有解,即函数y=e-x的图象与y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)内有交点,把点(0,1)代入y=ln(x+a),得1=lna,解得a=e,故ae.6.(2018全国Ⅲ,理15)函数f(x)=cos()在区间[0,π]上的零点个数为.答案:3解析:令f(x)=cos()=0,得3x++kπ,k∈Z,∴x=,k∈Z.则在区间[0,π]上的零点有故有3个.7.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x-2的零点为b,则f(a),f(1),f(b)的大小关系为.答案:f(a)f(1)f(b)解析:由题意,知f'(x)=ex+10恒成立,则函数f(x)在R上是单调递增的,因为f(0)=e0+0-2=-10,f(1)=e1+1-2=e-10,所以函数f(x)的零点a∈(0,1).由题意,知g'(x)=+10,则函数g(x)在区间(0,+∞)内是单调递增的.又g(1)=ln1+1-2=-10,g(2)=ln2+2-2=ln20,则函数g(x)的零点b∈(1,2).综上,可得0a1b2.因为f(x)在R上是单调递增的,所以f(a)f(1)f(b).38.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定购物付款总额要求如下:①若一次性购物不超过200元,则不给予优惠;②若一次性购物超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③若一次性购物超过500元,则500元按第②条给予优惠,剩余部分给予7折优惠.甲单独购买A商品实际付款100元,乙单独购买B商品实际付款450元.若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款元.答案:520解析:设商品价格为x元,实际付款为y元,则y={-整理,得y={∵0.9×200=180100,∴A商品的价格为100元.∵0.9×500=450,∴B商品的价格为500元.当x=100+500=600时,y=100+0.7×600=520,即若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款520元.9.已知函数f(x)=2x,g(x)=+2.(1)求函数g(x)的值域;(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.解:(1)g(x)=+2=()+2,因为|x|≥0,所以0()1,即2g(x)≤3,故g(x)的值域是(2,3].(2)由f(x)-g(x)=0,得2x--2=0.当x≤0时,显然不满足方程,当x0时,由2x--2=0整理,得(2x)2-2·2x-1=0,(2x-1)2=2,解得2x=1±√因为2x0,所以2x=1+√,即x=log2(1+√).10.如图,一个长方体形状的物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S成正比,比例系数4为;②其他面的淋雨量之和,其值为记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时,(1)写出y的表达式;(2)设0v≤10,0c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最少.解:(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+,故y=(-)(3|v-c|+10)(v0).(2)由(1)知,当0v≤c时,y=(3c-3v+10)=-15;当cv≤10时,y=(3v-3c+10)=-+15.故y={--①当0c时,y是关于v的减函数.故当v=10时,ymin=20-②当c≤5时,在区间(0,c]上,y是关于v的减函数;在区间(c,10]上,y是关于v的增函数.故当v=c时,ymin=二、思维提升训练11.如图,偶函数f(x)的图象如字母M,奇函数g(x)的图象如字母N.若方程f(g(x))=0,g(f(x))=0的实根个数分别为m,n,则m+n=()A.18B.16C.14D.12答案:A5解析:由题中图象知,f(x)=0有3个根0,a,b,且a∈(-2,-1),b∈(1,2);g(x)=0有3个根0,c,d,且c∈(-1,0),d∈(0,1).由f(g(x))=0,得g(x)=0或a,b,由图象可知g(x)所对每一个值都能有3个根,因而m=9;由g(f(x))=0,知f(x)=0或c,d,由图象可以看出f(x)=0时对应有3个根,f(x)=d时有4个,f(x)=c时只有2个,加在一起也是9个,即n=9,∴m+n=9+9=18,故选A.12.已知函数f(x)={--函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.5答案:A解析:因为f(x)={--所以f(2-x)={--------即f(2-x)={-f(x)+f(2-x)={-所以函数y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)={---其图象如图所示.显然函数图象与x轴有2个交点,故函数有2个零点.13.已知函数f(x)=lnx-()-+a有唯一的零点x0,且x0∈(2,3),则实数a的取值范围是.答案:(--)解析:令f(x)=0,得lnx=()--a.6在同一平面直角坐标系中分别作出y=lnx与y=()--a的图象知,y=lnx为增函数,而y=()--a为减函数.要使两函数图象交点的横坐标落在区间(2,3)内,必须有{()--()--解得-ln3a-ln2.14.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)={--(1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大.(注:年利润=年销售收入-年总成本)解:(1)当0x≤10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x--10;当x10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x.故W={----(2)①当0x≤10时,由W'=8.1-=0,得x=9.当x∈(0,9)时,W'0;当x∈(9,10]时,W'0.所以当x=9时,W取得最大值,即Wmax=8.1×9-93-10=38.6.②当x10时,W=98-()98-2√=38,当且仅当=2.7x,即x=时,W取得最大值38.7综合①②知:当x=9时,W取得最大值38.6,故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大.15.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润x(单位:元)与年产量q(单位:t)满足函数关系:x=2000√若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润w(单位:元)表示为年产量q(单位:t)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)在乙方年产量为q(单位:t)时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002q2(单位:元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?解:(1)因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为w=2000√-sq(q≥0).因为w=2000√-sq=-s(√-),所以当q=()时,w取得最大值.所以乙方取得最大利润的年产量q=()t.(2)设甲方净收入为v元,则v=sq-0.002q2,将q=()代入上式,得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式:v=又v'=--,令v'=0得s=20.当s20时,v'0;当s20时,v'0.所以当s=20时,v取得最大值.因此甲方向乙方要求赔付价格s为20元/吨时,获得最大净收入.