椭圆及其标准方程优秀课件

圆锥曲线2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程椭圆形的实物每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上。观察做图过程(1)绳长应当大于F1、F2之间的距离。(2)由于绳长固定，所以M到两个定点的距离和也固定。数学实验(1)取一条细绳，(2)把它的两端固定在板上的两点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形探究点1：椭圆的画法及图像椭圆定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.MF2F1|MF1|+|MF2|＞|F1F2|椭圆|MF1|+|MF2|=|F1F2|线段|MF1|+|MF2|＜|F1F2|不存在思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之和等于定值的点的轨迹是否一定为椭圆？【提升总结】探究点2椭圆的标准方程思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？设M是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于2a(2a2c0)，求椭圆的轨迹方程.第一步：如何建立适当的坐标系呢？想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？OxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则F1，F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).xF1F2MOy122||||.MFMFa222212||(),||(),MFxcyMFxcy22222()().xcyxcya所以由椭圆的定义得因为222222244()()(),xcyaaxcyxcy222(),acxaxcy移项，再平方222221.xyaac整理得4222222222222,aacxcxaxacxacay两边再平方，得22222222()(),acxayaac222()aac两边同除以，得：222210().xyabab所以的方程椭圆为222-0(),bacab解令：1F2FxyOP22-,,acac请看图片：你能从图中找出表示的线段吗？ac22ca222210().yxabab似的也可以得到的方程类椭圆为)0(12222babxay总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式012222babyax焦点在y轴：焦点在x轴：椭圆的标准方程1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(222212yoFFMx012222babyax012222babxay图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2MF1+MF2=2a(2a2c0)定义12yoFFMx1oFyx2FM两类标准方程的对照表注:由标准方程判断焦点位置——“大定轴”例1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并写出焦点坐标2212516xy+=答：在X轴（-3，0）和（3，0）221144169xy+=答：在y轴（0，-5）和（0，5）222211xymm+=+答：在y轴。（0，-1）和（0，1）11625)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx11624)6(22kykx22,ba下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？并指明，写出焦点坐标.?练习：2222xy1.1xa3a()xy2.1yb9b()方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围为。方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围为。0b9a33.方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则k的范围是.(0,4)椭圆方程的理解例2写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a=4，b=1，焦点在x轴上；(2)a=4，b=1，焦点在坐标轴上；(3)两个焦点的坐标是（0，-2）和（0，2），并且经过点P（-1.5，2.5）.解：因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为)0(12222babxay∵c=2，且c2=a2-b2∴4=a2-b2……①又∵椭圆经过点2523，∴……②1)()(22232225ba联立①②可求得：6,1022ba11622yx∴椭圆的标准方程为161022xy(法一)xyF1F2P11622yx11622yx或类型一求椭圆的标准方程(法二)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，.6410,2.10,10210211023)225()23()225()23(22222222cabcaa　　又　　所以所求椭圆的标准方程为.161022xy)0(12222babxay练习1已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点.求它的标准方程.53(,)22解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为22221(0).xyabab由椭圆的定义知222253532(2)()(2)()2102222a【变式练习1】已知椭圆经过两点和，求椭圆的标准方程.)25,23()5,3(221(0,0,),mxnymnmn解：设椭圆的标准方程为222235()()122(3)(5)1mnmn，，11,.610mn则有解得221610xy所以，所求椭圆的标准方程为.【变式练习2】求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过经过点P(－2,0)和Q(0,－3)的椭圆的标准方程.例3.已知椭圆的方程为：，请填空：(1)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，并且CF1=2,则CF2=___.1162522yx8（2）若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________２0类型二椭圆的定义及其应用练习1.在△ABC中，已知A（-3，0）、B（3，0），动点C满足|CA|、|AB|、|CB|成等差数列，则点C的轨迹方程为。)0(1273622yyx例4.已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．2解：设｜PB｜＝r．∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10．∴两圆的圆心距｜PA｜＝10－r，即｜PA｜＋｜PB｜＝10(大于｜AB｜)．∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．∴2a＝10，2c＝｜AB｜＝6，∴a＝5，c＝3．∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．即点P的轨迹方程为＝1．222516xy171622yx练习：一动圆过点B（-3，0），64)3(:22yxC内切，求该动圆圆心M的轨迹方程。而且与圆3-3xyMABC例5.已知点P是椭圆一点，F1和F2是椭圆的焦点，192522yxPF1F2d⑴若∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积⑵若∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积⑶若∠F1PF2=θ，求△F1PF2的面积PF1F2d解⑴由椭圆定义得:|PF1|+|PF2|=10①又a=5b=3,∴c=4,2c=8由勾股定理得:|PF1|2+|PF2|2=64②①2-②得2|PF1|·|PF2|=369||||212121PFPFSPFF故由余弦定理得:|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°=64②3360sin||||212121PFPFSPFF故⑵⑶由余弦定理得:|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ=64②2tan9cos1sin9sin||||212121PFPFSPFF故①2-②得3|PF1|·|PF2|=36①2-②得2(1+cosθ)|PF1|·|PF2|=36练习1.已知F1、F2是椭圆的焦点，P为椭圆上一点，且，则的面积为_____.192522yx21PFPF21PFF