电磁悬浮系统课程设计报告

1/11研究生课程考核试卷科目：现代控制理论教师：姓名：学号：专业：类别：上课时间：考生成绩：卷面成绩平时成绩课程综合成绩阅卷评语：阅卷教师(签名)重庆大学研究生院制1/11电磁悬浮系统课程设计报告1.设计要求简易电磁悬浮系统的物理模型如下图所示。其中电源提供高频交流电压从而使得电磁铁线圈流过高频交流电流，产生高频交变的电磁场，进而在金属小球表面产生涡流，涡流形成的电磁场与线圈产生的电磁场之间产生相互作用力。通过控制电磁铁线圈中流过的电流，使之产生的电磁力与金属球的重力相平衡，金属球则可稳定的在空中保持悬浮。电磁力与线圈电流i的平方成正比，与电磁铁和小球之间的距离x成反比，即2KiFh其中K为电磁力系数。假设系统的参数为M=0g，K=0.0001，L=0.01H，R=1Ω，g=9.8m/s2。当电流i=7A时，小球位于平衡点h=0.01m处，试求：（1）以线圈电压v为输入量，电磁铁和小球之间的距离x为输出量，通过近似线性化处理建立系统的状态空间表达式；（2）对系统作稳定性分析，判断小球能否位于平衡点；（3）假设系统的控制要求为：偏离平衡点后能够自动回到平衡点，其中稳定时间0.5s、超调量5。试设计带状态观测器状态反馈系统，并绘制模拟仿真图；（4）根据模拟仿真图，绘制系统综合前后的响应曲线，判断系统在外加扰动的情况下小球能否回到平衡点。2/112.系统分析与设计设控制对象处于悬浮的平衡位置，电磁铁绕组上的电流为i，当它对控制对象产生的吸力F和控制对象的重力Mg相平衡时，控制对象将处于一种平衡状态,静止在该位置上。假设在平衡位置悬浮体受到一个向下的扰动，悬浮体就会偏离其平衡位置向下运动，此时传感器检测出悬浮体偏离其平衡位置的位移并将位移相对应的电压输出至控制器，控制器将这一位移信号变换为控制信号，功率放大器又将该控制信号变换为控制电流。相对于平衡位置，此时的控制电流增大，因此,电磁铁的吸力F变大了，从而使控制对象返回到原来的平衡位置。如果控制对象受到一个向上的扰动并向上运动,此时控制器使得功放的输出电流减小，电磁铁的吸力F变小了,控制对象也能返回到原来的平衡位置。因此，不论控制对象受到向上或向下的扰动，只要在控制器的控制下相应地及时改变控制电流的值，控制对象始终能处于稳定的平衡状态。控制系统组成如图2.1所示。3/11图2.1磁悬浮控制系统组成2.1状态空间表达式1）求原系统的状态空间表达式由题中条件可以得到原系统KVL的如下关系式：diviRLdt当系统稳定时，即小球悬浮静止时有：2KiFMgh取向下为正方向，a为小球向下的加速度，对小球在竖直方向受力分析：dvMgFMaMdt其中：22dxdvdxvdtdtdt，由于模型为非线性化系统，结构较复杂，先对上式进行近似线性化处理，在点0i=7A，h=0.01m处用泰勒级数展开，忽略二阶及二阶以上项，有：22000022KiKiKiFiixhhhh将数值带入（4）计算得：0.980.1449Fix整理上述表达式得：1(0.14490.98)1()xvvMgixMiviRL取输入量v，输出量x，状态变量1xxt，2xvt，3xit，代入原式可得：12213339802.829.4-100100xxxxxxxu4/11可以得到系统的能控标准型状态空间表达式为：112233123010098002.8000100100100xxxxuxxxyxx其中：01098002.800100A00100B100C0D2）系统稳定性分析由李雅普诺夫第一法，渐近稳定的充要条件是A的特征值均有负实部。109802.800100ssIAss2(100)980100)sIAsss（32100980980000sss解得：123100980980sss由特征值判断，所以该系统不稳定，经过微小扰动后，小球不能位于平衡点。2.2状态反馈与状态观测器设计1）判断原系统的能控和能观测性200280[]0280280001000100001000000cQBABAB3crankQ故该系统完全可控，闭环极点可任意配置。5/11210001098012.8oCQCACA3orankQ故该系统可观测，状态观测器存在。2）状态反馈设计原系统无开环零点，所以设计的闭环系统的动态性能完全由闭环极点所决定。由题要求其中稳定时间0.5s、超调量5。希望的3个闭环极点这样安排：选择一对主导极点s1和s2另外一个极点s3远离这两个极点。将原闭环系统近似成只有主导极点的二阶系统。利用典型二阶系统超调量和调节时间公式：2-1-%100%5%e35%0.5snts解得：n0.7078.487，取n0.70710，则主导极点1,2s与3s选择如下：1,27.077.07sj3100s希望的闭环特征多项式为23210014.14100114.14151410000ssssss令代设状态反馈矩阵为：123Kkkk则闭环特征多项式为323213(100100)(980280)2809800098000sIABKskskskk令上述两特征多项式相等，解得：6/11123435.20438.90710.1414kkk则状态反馈阵为435.20438.90710.1414K3）状态观测器设计取全维观测器，令观测器的反馈矩阵为：123TGggg则观测器的特征多项式为:3211223100980100980001002.8sIAGCsgsggsgg为使观测器状态变量尽快趋向原系统状态变量，取观测器极点离虚轴距离比闭环系统希望极点的位置大2~3倍。则选择极点为-100、-3、-3。希望的特征多项式为2321003106609900sssss令上述两特征多项式相等得：12369890ggg则全维观测器矩阵为：69890TG整理得：123ˆ61006ˆˆˆˆ902.80989ˆ001001000xxxuyx2.3系统连线图由状态空间方程得原系统的接线图如图2.2所示。7/11图2.2原系统的连接线由以上得到全维状态观测器为：123ˆ61006ˆˆˆˆ902.80989ˆ001001000xxxuyx在matlab/simulink中画出带状态观测器的模拟仿真图如图2.3所示。图2.3系统的全维状态观测器接线图其中输出模块参数设定如图2.4所示：8/11图2.4参数设计2.4仿真结果取v为大小为1的阶跃信号，原系统的单位阶跃响应曲线如图2.5所示。图2.5原系统的单位阶跃响应加入状态观测器后的单位阶跃响应如图2.6所示。9/11图2.6带状态观测器的单位阶跃响应由图所知，曲线趋于纵坐标数值为0.003处稳定，显然系统综合后在外加扰动下小球能重新回到平衡点。3.结果分析取阶跃信号v，此时v=8V，i=8A，此时当系统达到新的平衡时，由受力平衡：2KiFMgh计算可得：=0.013mh其扰动量增量计算值：30.003m=310mhhh1）原开环系统对比原系统和带有状态观测器的系统的单位阶跃响应可以在图中直观的看到，原系统中h增量在0.003处正弦震荡，无法达到稳定，故开环系统不稳定。2）带有状态观测器的新系统有仿真曲线2.6可知，带有状态观测器的新系统在加扰动的情况下最终在纵坐标为0.003处稳定，与计算值相符，即该系统能达到新的平衡。新系统动态性能指标计算结果如表1所示。表1动态性能指标计算结果上升时间（s）超调量（m）0.4530.210设计后的系统阶跃响应满足稳定时间0.5s、超调量5等要求。10/11综上所述，通过仿真分析，该设计的闭环系统，在加扰动的情况下小球能回到平衡点。实际仿真响应曲线与理论分析结果相一致。设计合理。