广东省高州市长坡中学2011届高三期末考试 （数学文）

广东省高州市长坡中学2011届高三期末考试数学试题（文科）满分150分，完卷时间为120分钟，答案请写在答题纸上一、填空题（每小题4分，共44分）1．已知集合P={x|x2–90}，Q={x|x2–10}，则QP。2．若复数iiaz1为实数，则实数a。3．函数f（x）=1+log2x的反函数f–1（x）=。4．函数xxy4，x（0,+∞）的最小值。5．若方程16422kykx表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是。6．方程sinx+cosx=–1在[0,π]内的解为。7．向量a与b的夹角为150，3||a，4||b，则|2|ba。8．直线3x+y–23=0截圆x2+y2=4所得的弦长为。9．在实数等比数列{an}中a1+a2+a3=2，a4+a5+a6=16，则a7+a8+a9=。10．定义在R上的周期函数f（x）是偶函数，若f（x）的最小正周期为4，且当x[0,2]时，f（x）=2–x，则f（2008）=。11．正数数列{an}中，对于任意nN*，an是方程（n2+n）x2+（n2+n–1）x–1=0的根，Sn是正数数列{an}的前n项和，则nnSlim。二、选择题（每小题4分，共16分）12．在复平面内，复数z=i21对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．命题：“对任意的Rx，0322xx”的否定是（）A．不存在Rx，0322xx；B．存在Rx，0322xx；C．存在Rx，0322xx；D．对任意的Rx，0322xx．14．已知A（1,0）．B（7,8），若点A和点B到直线l的距离都为5，且满足上述条件的直线l共有n条，则n的值是（）A．1B．2C．3D．415．方程|x–2|=log2x的解的个数为（）A．0B．1C．2D．3三、解答题（本大题满分90分）16．（本大题12分）设函数f（x）=–cos2x–4tsin2xcos2x+2t2–3t+4，xR，其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）。（1）求函数g（t）的表达式；（2）判断g（t）在[–1,1]上的单调性，并求出g（t）的最值。17．（本大题12分）复数2)2321(iz是一元二次方程012bxax),(Rba的根，（1）求a和b的值；（2）若zuubia)()(Cu，求u。18．（本大题14分）在△ABC中，A为锐角，a=30，ΔABC的面积S=105，外接圆半径R=17。（1）求sinA．cosA的值；（2）求ΔABC的周长。19．（本大题16分）设a为实数，函数f（x）=x|x–a|，其中xR。（1）分别写出当a=0．a=2．a=–2时函数f（x）的单调区间；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明。20．（本大题18分）阅读下面所给材料：已知数列{an}，a1=2，an=3an–1+2，求数列的通项an。解：令an=an–1=x，则有x=3x+2，所以x=–1，故原递推式an=3an–1+2可转化为：an+1=3（an–1+1），因此数列{an+1}是首项为a1+1，公比为3的等比数列。根据上述材料所给出提示，解答下列问题：已知数列{an}，a1=1，an=3an–1+4，（1）求数列的通项an；并用解析几何中的有关思想方法来解释其原理；（2）若记Sn=nkkkaa11)2lg()2lg(1，求nlimSn;（3）若数列{bn}满足：b1=10，bn+1=1003nb，利用所学过的知识，把问题转化为可以用阅读材料的提示，求出解数列{bn}的通项公式bn。21．（本大题18分）（1）已知平面上两定点)0,2(A．)0,2(B，且动点M标满足MBMA=0，求动点M的轨迹方程；（2）若把（1）的M的轨迹图像向右平移一个单位，再向下平移一个单位，恰与直线x+ky–3=0相切，试求实数k的值；（3）如图，l是经过椭圆1162522xy长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E．F是两个焦点，点Pl，P不与A重合。若EPF=，求的取值范围。并将此题类比到双曲线：1162522xy，l是经过焦点F且与实轴垂直的直线，BA、是两个顶点，点Pl，P不与F重合，请作出其图像。若APB，写出角的取值范围。（不需要解题过程）APOEFxyl第21题图参考答案一、填空题：1．{–2,2}2．23．2x–1（xR）4．45．–6k–16．π7．28．29．12810．211．1二、选择题：12．A13．C14．C15．C16．（1）因为函数f（x）=–cos2x–4tsin2xcos2x+2t2–3t+4，xR，其中|t|≤1，所以f（x）=sin2x–2tsinx+2t2–3t+3=（sinx–t）2+t2–3t+3…………………………3分g（t）=f（x）min=f（t）=t2–3t+3………………………………………………6分（2）g（t）=t2–3t+3=（t–23）2+43，其对称轴为t=23，开口向上，所以g（t）在[–1,1]上的单调性为单调递减，………………………9分g（t）min=1…………………………………………………………………………………11分g（t）max=7…………………………………………………………………………………12分17．（1）由题得iZ2321，…………………………………………………………2分因为方程ax2+bx+1=0（a．bR）是实系数一元二次方程，所以它的另一个根为i2321………………………………………………………4分由韦达定理知：111)2321)(2321()2321()2321(baaiiabii……………………6分（2）由（1）知iuui2321)1(，设),(Ryxyixu……………………8分则：iyixyixi2321)())(1(，得ixiyx2321)2(……10分2132323212yxxyx，所以iu213223……………………12分18．（1）在△ABC中，A为锐角，a=30，外接圆半径R=17，所以Aasin=2R=34，…2分sinA=1715，cosA=178……………………………………………………………………6分（2）ΔABC的面积S=105，105=21bcsinA，bc=238……………………………8分a2=b2+c2–2bccosA=（b+c）2–2bc（1+cosA）………………………………10分（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=900+2238（1+178）=1600…………………………12分b+c=40，ΔABC的周长为70。…………………………………………………………14分19．（1）当a=0时，f（x）=x|x|=0022xxxx，f（x）的单调递增区间为),(；…2分当a=2时，2222)(22xxxxxxxf)(xf的单调递增区间为（–∞,1）和（2,+∞）；…………………………………………4分)(xf的单调递减区间为（1,2）………………………………………………………6分当a=–2时，2222)(22xxxxxxxf)(xf的单调递增区间为（–∞,–2）和（–1,+∞）；……………………………………8分)(xf的单调递减区间为（–2,–1）…………………………………………………10分（2）当a=0时，f（x）=x|x|，所以f（x）为奇函数…………………………………11分因为定义域为R关于原点对称，且f（–x）=–x|–x|=–f（x）所以)(xf为奇函数。…………………………………………………………………13分当a0时，f（x）=x|x–a|为非奇非偶函数，………………………………………14分f（a）=0，f（–a）=–a|2a|，所以f（–a）f（a），f（–a）–f（a）所以f（x）是非奇非偶函数。………………………………………16分20．（1）令an=an–1=x，则有x=3x+4，所以x=–2，故原递推式an=3an–1+4可转化为：an+2=3（an–1+2），因此数列{an+2}是首项为a1+2，公比为3的等比数列。所以an+2=（a1+2）3n–1，所以an=3n–2；…………………………………………2分对于an=3an–1+4，可以看成把直线y=3x+4的方程改写成点斜式方程，该点就是它与直线y=x的交点。……………………………………………………4分（2）令dk=)2lg()2lg(11kkaa=13lg3lg1kk=（3lg1）2)1(1kk=（3lg1）2（k1–11k）……………………………7分Sn=nkkkaa11)2lg()2lg(1=d1+d2+……+dn=（3lg1）2[（2111）+（3121）+（4131）+……+（111nn）]=（3lg1）2[111n]………………………………………………………………10分nlimSn=（3lg1）2……………………………………………………………………12分（3）数列{bn}满足：b1=10，bn+i=1003nb，所以bn0，lgbn+i=lg（1003nb）令cn=lgbn，则cn+1=3cn+2，………………………………………………………14分所以cn+2=3（cn–1+2），因此数列{cn+2}是首项为c1+2，公比为3的等比数列。所以cn+2=（c1+2）3n–1，所以cn=3n–2，…………………………………………16分lgbn=cn=3n–2；bn=2310n…………………………………………………………18分21．（1）设22(,),04MxyMAMBxy由得，此即点M的轨迹方程。…………3分（2）将x2+y2=4向右平移一个单位，再向下平移一个单位后，得到圆（x–1）2+（y+1）2=4……………………………………………………5分依题意有21|2|2kk，得k=0或34k……………………………………………8分（3）（ⅰ）证明：不妨设点P在A的右侧，并设P（t,–5）（t0），则tFPAtEPA2tan,8tan…………………………………………………10分所以4316616128)tan(tan2tttttFPAEPA……………………12分所以0tan≤43。显然为锐角，即：0≤arctan43……………………………14分（ⅱ）如图…………………………………………………………………………………16分（图形中没有体现出双曲线的渐近性的，扣1分）45arctan0。………………………………………………………………18分u.c.o.mAOBFxyPl